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Integral de x^2/(1-8*x^3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |      2      
 |     x       
 |  -------- dx
 |         3   
 |  1 - 8*x    
 |             
/              
0              
01x218x3dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1 - 8 x^{3}}\, dx
Integral(x^2/(1 - 8*x^3), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=18x3u = 1 - 8 x^{3}.

      Luego que du=24x2dxdu = - 24 x^{2} dx y ponemos du24- \frac{du}{24}:

      (124u)du\int \left(- \frac{1}{24 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1udu=1udu24\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{24}

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log(u)24- \frac{\log{\left(u \right)}}{24}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(18x3)24- \frac{\log{\left(1 - 8 x^{3} \right)}}{24}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x218x3=4x+112(4x2+2x+1)112(2x1)\frac{x^{2}}{1 - 8 x^{3}} = - \frac{4 x + 1}{12 \left(4 x^{2} + 2 x + 1\right)} - \frac{1}{12 \left(2 x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (4x+112(4x2+2x+1))dx=4x+14x2+2x+1dx12\int \left(- \frac{4 x + 1}{12 \left(4 x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{4 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}\, dx}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          4x+14x2+2x+1dx=8x+24x2+2x+1dx2\int \frac{4 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x + 2}{4 x^{2} + 2 x + 1}\, dx}{2}

          1. que u=4x2+2x+1u = 4 x^{2} + 2 x + 1.

            Luego que du=(8x+2)dxdu = \left(8 x + 2\right) dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(4x2+2x+1)\log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log(4x2+2x+1)2\frac{\log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log(4x2+2x+1)24- \frac{\log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{24}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (112(2x1))dx=12x1dx12\int \left(- \frac{1}{12 \left(2 x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{12}

        1. que u=2x1u = 2 x - 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          12udu\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1udu=1udu2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(2x1)2\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log(2x1)24- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{24}

      El resultado es: log(2x1)24log(4x2+2x+1)24- \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{24} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 2 x + 1 \right)}}{24}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x218x3=x28x31\frac{x^{2}}{1 - 8 x^{3}} = - \frac{x^{2}}{8 x^{3} - 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (x28x31)dx=x28x31dx\int \left(- \frac{x^{2}}{8 x^{3} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{8 x^{3} - 1}\, dx

      1. que u=8x31u = 8 x^{3} - 1.

        Luego que du=24x2dxdu = 24 x^{2} dx y ponemos du24\frac{du}{24}:

        124udu\int \frac{1}{24 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu24\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{24}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)24\frac{\log{\left(u \right)}}{24}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(8x31)24\frac{\log{\left(8 x^{3} - 1 \right)}}{24}

      Por lo tanto, el resultado es: log(8x31)24- \frac{\log{\left(8 x^{3} - 1 \right)}}{24}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(18x3)24+constant- \frac{\log{\left(1 - 8 x^{3} \right)}}{24}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(18x3)24+constant- \frac{\log{\left(1 - 8 x^{3} \right)}}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                               
 |                                
 |     2                /       3\
 |    x              log\1 - 8*x /
 | -------- dx = C - -------------
 |        3                24     
 | 1 - 8*x                        
 |                                
/                                 
x218x3dx=Clog(18x3)24\int \frac{x^{2}}{1 - 8 x^{3}}\, dx = C - \frac{\log{\left(1 - 8 x^{3} \right)}}{24}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-10001000
Respuesta [src]
nan
NaN\text{NaN}
=
=
nan
NaN\text{NaN}
nan

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.