Integral de 1/sqrt(2*x+1)+sqrt^4(2*x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{2 x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ y ponemos $du$:

         $\int u^{5}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\sqrt{2 x + 1}\right)^{4} = 4 x^{2} + 4 x + 1$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x$

   1. que $u = \sqrt{2 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int 1\, du$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\sqrt{2 x + 1}$

   El resultado es: $\sqrt{2 x + 1} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt{2 x + 1} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2 x + 1} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2 x + 1} + \frac{\left(2 x + 1\right)^{3}}{6}+ \mathrm{constant}$