Integral de (exp(x)-1)/exp(x)+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 1}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            El resultado es: $\log{\left(u \right)} + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{e^{x} - 1}{e^{x}} = - e^{- x} + e^{- x} e^{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

            1. que $u = - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{- x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x}$

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} \right)}$

         El resultado es: $\log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $x + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \log{\left(e^{x} \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$