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Resolución de integrales/ cos^2/ sin(2*x)/ sin(2*x)/(1+4cos^2(x))

Integral de sin(2*x)/(1+4cos^2(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     sin(2*x)     
 |  ------------- dx
 |           2      
 |  1 + 4*cos (x)   
 |                  
/                   
0
∫01sin⁡(2x)4cos⁡2(x)+1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx 
Integral(sin(2*x)/(1 + 4*cos(x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)4cos⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)4cos⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=4cos⁡2(x)+1u = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=−8sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du8- \frac{du}{8}:

        ∫(−18u) du\int \left(- \frac{1}{8 u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du8\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)8- \frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(4cos⁡2(x)+1)8- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(4cos⁡2(x)+1)4- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)4cos⁡2(x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)4cos⁡2(x)+1\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡(x)4cos⁡2(x)+1 dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x)4cos⁡2(x)+1 dx\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. que u=4cos⁡2(x)+1u = 4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1.

        Luego que du=−8sin⁡(x)cos⁡(x)dxdu = - 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx y ponemos −du8- \frac{du}{8}:

        ∫(−18u) du\int \left(- \frac{1}{8 u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du8\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{8}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)8- \frac{\log{\left(u \right)}}{8}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(4cos⁡2(x)+1)8- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(4cos⁡2(x)+1)4- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(4cos⁡2(x)+1)4+constant- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(4cos⁡2(x)+1)4+constant- \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                           /         2   \
 |    sin(2*x)            log\1 + 4*cos (x)/
 | ------------- dx = C - ------------------
 |          2                     4         
 | 1 + 4*cos (x)                            
 |                                          
/
∫sin⁡(2x)4cos⁡2(x)+1 dx=C−log⁡(4cos⁡2(x)+1)4\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\, dx = C - \frac{\log{\left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     /         2   \         
  log\1 + 4*cos (1)/   log(5)
- ------------------ + ------
          4              4
−log⁡(1+4cos⁡2(1))4+log⁡(5)4- \frac{\log{\left(1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{4} 
=
= 
     /         2   \         
  log\1 + 4*cos (1)/   log(5)
- ------------------ + ------
          4              4
−log⁡(1+4cos⁡2(1))4+log⁡(5)4- \frac{\log{\left(1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{4} 
-log(1 + 4*cos(1)^2)/4 + log(5)/4
Respuesta numérica [src] 
0.208942074025323
0.208942074025323

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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