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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de t^1/2
Integral de e^z
Integral de e*x^2
Integral de e^(-4/x)
Expresiones idénticas
(2sinx-sin2x)(2sin2x-2sinx)
(2 seno de x menos seno de 2x)(2 seno de 2x menos 2 seno de x)
2sinx-sin2x2sin2x-2sinx
(2sinx-sin2x)(2sin2x-2sinx)dx
Expresiones semejantes
(2sinx-sin2x)(2sin2x+2sinx)
(2sinx+sin2x)(2sin2x-2sinx)

Resolución de integrales/ (2sinx-sin2x)(2sin2x-2sinx)

Integral de (2sinx-sin2x)(2sin2x-2sinx) dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi                                                 
 --                                                 
 3                                                  
  /                                                 
 |                                                  
 |  (2*sin(x) - sin(2*x))*(2*sin(2*x) - 2*sin(x)) dx
 |                                                  
/                                                   
-pi

$$\int\limits_{- \pi}^{\frac{\pi}{3}} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$

Integral((2*sin(x) - sin(2*x))*(2*sin(2*x) - 2*sin(x)), (x, -pi, pi/3))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin^{3}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- x + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  El resultado es: $- 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 6 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin^{3}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- x + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  El resultado es: $- 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
    2. que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- x + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 12 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin^{3}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + \sin{\left(2 x \right)}$
  El resultado es: $- 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$- 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                            
 |                                                                   3      sin(4*x)           
 | (2*sin(x) - sin(2*x))*(2*sin(2*x) - 2*sin(x)) dx = C - 3*x + 4*sin (x) + -------- + sin(2*x)
 |                                                                             4               
/

$$\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C - 3 x + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

             ___
        15*\/ 3 
-4*pi + --------
           8

$$- 4 \pi + \frac{15 \sqrt{3}}{8}$$

             ___
        15*\/ 3 
-4*pi + --------
           8

$$- 4 \pi + \frac{15 \sqrt{3}}{8}$$

-4*pi + 15*sqrt(3)/8

Respuesta numérica [src]

-9.31877535016753

-9.31877535016753

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (2sinx-sin2x)(2sin2x-2sinx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3