Integral de -4(sinx^2-3sinx^2*cosx+2sinx^2*cosx^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- 4 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = - 4 \int \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 2 x$.

                  Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

               1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

                  $\int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sin^{3}{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} - \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x \sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x \sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4} - \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- x \sin^{4}{\left(x \right)} - 2 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - x \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 x - \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$