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Resolución de integrales/ -4(sinx^2-3sinx^2*cosx+2sinx^2*cosx^2)

Integral de -4(sinx^2-3sinx^2*cosx+2sinx^2*cosx^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                                                      
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  |     /   2           2                  2       2   \   
  |  -4*\sin (x) - 3*sin (x)*cos(x) + 2*sin (x)*cos (x)/ dx
  |                                                        
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 0
∫02π(−4((sin⁡2(x)−3sin⁡2(x)cos⁡(x))+2sin⁡2(x)cos⁡2(x))) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(- 4 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)\, dx 
Integral(-4*(sin(x)^2 - 3*sin(x)^2*cos(x) + (2*sin(x)^2)*cos(x)^2), (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−4((sin⁡2(x)−3sin⁡2(x)cos⁡(x))+2sin⁡2(x)cos⁡2(x))) dx=−4∫((sin⁡2(x)−3sin⁡2(x)cos⁡(x))+2sin⁡2(x)cos⁡2(x)) dx\int \left(- 4 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = - 4 \int \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx

    1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−∫3sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=3∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u2 du\int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡3(x)\sin^{3}{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(x)- \sin^{3}{\left(x \right)}

        El resultado es: x2−sin⁡3(x)−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        xsin⁡4(x)4+xsin⁡2(x)cos⁡2(x)2+xcos⁡4(x)4+sin⁡3(x)cos⁡(x)4−sin⁡(x)cos⁡3(x)4\frac{x \sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4}

      El resultado es: xsin⁡4(x)4+xsin⁡2(x)cos⁡2(x)2+xcos⁡4(x)4+x2+sin⁡3(x)cos⁡(x)4−sin⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡3(x)4−sin⁡(2x)4\frac{x \sin^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{x \cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4} - \sin^{3}{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: −xsin⁡4(x)−2xsin⁡2(x)cos⁡2(x)−xcos⁡4(x)−2x−sin⁡3(x)cos⁡(x)+4sin⁡3(x)+sin⁡(x)cos⁡3(x)+sin⁡(2x)- x \sin^{4}{\left(x \right)} - 2 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - x \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 x - \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −3x+3sin⁡(x)+sin⁡(2x)−sin⁡(3x)+sin⁡(4x)4- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −3x+3sin⁡(x)+sin⁡(2x)−sin⁡(3x)+sin⁡(4x)4+constant- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3x+3sin⁡(x)+sin⁡(2x)−sin⁡(3x)+sin⁡(4x)4+constant- 3 x + 3 \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} - \sin{\left(3 x \right)} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |    /   2           2                  2       2   \                     3         3                  4           4         3                    2       2              
 | -4*\sin (x) - 3*sin (x)*cos(x) + 2*sin (x)*cos (x)/ dx = C - 2*x + 4*sin (x) + cos (x)*sin(x) - x*cos (x) - x*sin (x) - sin (x)*cos(x) - 2*x*cos (x)*sin (x) + sin(2*x)
 |                                                                                                                                                                        
/
∫(−4((sin⁡2(x)−3sin⁡2(x)cos⁡(x))+2sin⁡2(x)cos⁡2(x))) dx=C−xsin⁡4(x)−2xsin⁡2(x)cos⁡2(x)−xcos⁡4(x)−2x−sin⁡3(x)cos⁡(x)+4sin⁡3(x)+sin⁡(x)cos⁡3(x)+sin⁡(2x)\int \left(- 4 \left(\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) + 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)\, dx = C - x \sin^{4}{\left(x \right)} - 2 x \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - x \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 x - \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-6*pi
−6π- 6 \pi 
=
= 
-6*pi
−6π- 6 \pi 
-6*pi
Respuesta numérica [src] 
-18.8495559215388
-18.8495559215388

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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