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Resolución de integrales/ x^2-5/ (3x+4)/ (3x+4)/(x^2-5)

Integral de (3x+4)/(x^2-5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |  3*x + 4   
 |  ------- dx
 |    2       
 |   x  - 5   
 |            
/             
0
∫013x+4x2−5 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}\, dx 
Integral((3*x + 4)/(x^2 - 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    3x+4x2−5=3xx2−5+4x2−5\frac{3 x + 4}{x^{2} - 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 5} + \frac{4}{x^{2} - 5}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3xx2−5 dx=3∫xx2−5 dx\int \frac{3 x}{x^{2} - 5}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{2} - 5}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xx2−5 dx=∫2xx2−5 dx2\int \frac{x}{x^{2} - 5}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 5}\, dx}{2}

        1. que u=x2−5u = x^{2} - 5.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x2−5)\log{\left(x^{2} - 5 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2−5)2\frac{\log{\left(x^{2} - 5 \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(x2−5)2\frac{3 \log{\left(x^{2} - 5 \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4x2−5 dx=4∫1x2−5 dx\int \frac{4}{x^{2} - 5}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2} - 5}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), x**2 > 5), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), x**2 < 5)], context=1/(x**2 - 5), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: 4({−5acoth⁡(5x5)5for x2>5−5atanh⁡(5x5)5for x2<5)4 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right)

    El resultado es: 4({−5acoth⁡(5x5)5for x2>5−5atanh⁡(5x5)5for x2<5)+3log⁡(x2−5)24 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right) + \frac{3 \log{\left(x^{2} - 5 \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    {15log⁡(x2−5)−85acoth⁡(5x5)10for x2>515log⁡(x2−5)−85atanh⁡(5x5)10for x2<5\begin{cases} \frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {15log⁡(x2−5)−85acoth⁡(5x5)10for x2>515log⁡(x2−5)−85atanh⁡(5x5)10for x2<5+constant\begin{cases} \frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{15log⁡(x2−5)−85acoth⁡(5x5)10for x2>515log⁡(x2−5)−85atanh⁡(5x5)10for x2<5+constant\begin{cases} \frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{15 \log{\left(x^{2} - 5 \right)} - 8 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{10} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                      //            /    ___\             \                 
                      ||   ___      |x*\/ 5 |             |                 
                      ||-\/ 5 *acoth|-------|             |                 
  /                   ||            \   5   /        2    |                 
 |                    ||----------------------  for x  > 5|        /      2\
 | 3*x + 4            ||          5                       |   3*log\-5 + x /
 | ------- dx = C + 4*|<                                  | + --------------
 |   2                ||            /    ___\             |         2       
 |  x  - 5            ||   ___      |x*\/ 5 |             |                 
 |                    ||-\/ 5 *atanh|-------|             |                 
/                     ||            \   5   /        2    |                 
                      ||----------------------  for x  < 5|                 
                      \\          5                       /
∫3x+4x2−5 dx=C+4({−5acoth⁡(5x5)5for x2>5−5atanh⁡(5x5)5for x2<5)+3log⁡(x2−5)2\int \frac{3 x + 4}{x^{2} - 5}\, dx = C + 4 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right) + \frac{3 \log{\left(x^{2} - 5 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
/        ___\                  /        ___\                            /        ___\              /        ___\                    
|3   2*\/ 5 |    /      ___\   |3   2*\/ 5 | /          /       ___\\   |3   2*\/ 5 |    /  ___\   |3   2*\/ 5 | /          /  ___\\
|- - -------|*log\1 + \/ 5 / + |- + -------|*\pi*I + log\-1 + \/ 5 // - |- - -------|*log\\/ 5 / - |- + -------|*\pi*I + log\\/ 5 //
\2      5   /                  \2      5   /                            \2      5   /              \2      5   /
−(32−255)log⁡(5)+(32−255)log⁡(1+5)−(255+32)(log⁡(5)+iπ)+(255+32)(log⁡(−1+5)+iπ)- \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right) \log{\left(\sqrt{5} \right)} + \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right) \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)} - \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{3}{2}\right) \left(\log{\left(\sqrt{5} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{3}{2}\right) \left(\log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi\right) 
=
= 
/        ___\                  /        ___\                            /        ___\              /        ___\                    
|3   2*\/ 5 |    /      ___\   |3   2*\/ 5 | /          /       ___\\   |3   2*\/ 5 |    /  ___\   |3   2*\/ 5 | /          /  ___\\
|- - -------|*log\1 + \/ 5 / + |- + -------|*\pi*I + log\-1 + \/ 5 // - |- - -------|*log\\/ 5 / - |- + -------|*\pi*I + log\\/ 5 //
\2      5   /                  \2      5   /                            \2      5   /              \2      5   /
−(32−255)log⁡(5)+(32−255)log⁡(1+5)−(255+32)(log⁡(5)+iπ)+(255+32)(log⁡(−1+5)+iπ)- \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right) \log{\left(\sqrt{5} \right)} + \left(\frac{3}{2} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right) \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)} - \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{3}{2}\right) \left(\log{\left(\sqrt{5} \right)} + i \pi\right) + \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{3}{2}\right) \left(\log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi\right) 
(3/2 - 2*sqrt(5)/5)*log(1 + sqrt(5)) + (3/2 + 2*sqrt(5)/5)*(pi*i + log(-1 + sqrt(5))) - (3/2 - 2*sqrt(5)/5)*log(sqrt(5)) - (3/2 + 2*sqrt(5)/5)*(pi*i + log(sqrt(5)))
Respuesta numérica [src] 
-1.19553320889932
-1.19553320889932

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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