Integral de (e^1/x)/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- e du$:

      $\int \left(- e u^{2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - e \int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3} e}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e}{3 x^{3}}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x^{3}}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{x^{4}}$ y ponemos $- \frac{e du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{e}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = - \frac{e \int 1\, du}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u e}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e}{3 x^{3}}$

   Método #3

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{e du}{3}$:

      $\int \frac{e}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{e \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e}{3 x^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{e}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{e}{3 x^{3}}+ \mathrm{constant}$