Integral de 1/(x^(1/3)×(1+x^(2/3))) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{x} \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}$

   2. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3 u}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = 3 \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{x} \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}$

   2. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

      $\int \frac{3 u}{u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = 3 \int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \log{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \log{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$