Integral de sin(5*x)*sin(6*x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(5 x \right)} \sin{\left(6 x \right)} = 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 896 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 280 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 30 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 512 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1152 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 128 \sin^{9}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 896 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 896 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $128 \sin^{7}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 280 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 280 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 56 \sin^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 30 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 30 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $10 \sin^{3}{\left(x \right)}$

   El resultado es: $\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{9}{\left(x \right)} + 128 \sin^{7}{\left(x \right)} - 56 \sin^{5}{\left(x \right)} + 10 \sin^{3}{\left(x \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\left(\frac{512 \sin^{8}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{6}{\left(x \right)} + 128 \sin^{4}{\left(x \right)} - 56 \sin^{2}{\left(x \right)} + 10\right) \sin^{3}{\left(x \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\frac{512 \sin^{8}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{6}{\left(x \right)} + 128 \sin^{4}{\left(x \right)} - 56 \sin^{2}{\left(x \right)} + 10\right) \sin^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\frac{512 \sin^{8}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{6}{\left(x \right)} + 128 \sin^{4}{\left(x \right)} - 56 \sin^{2}{\left(x \right)} + 10\right) \sin^{3}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$