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Resolución de integrales/ cosx^2/ sin^2/ cosx^2-sin^2x

Integral de cosx^2-sin^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  p                       
  -                       
  4                       
  /                       
 |                        
 |  /   2         2   \   
 |  \cos (x) - sin (x)/ dx
 |                        
/                         
0
∫0p4(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)) dx\int\limits_{0}^{\frac{p}{4}} \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(cos(x)^2 - sin(x)^2, (x, 0, p/4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡2(x)) dx=−∫sin⁡2(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2+sin⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    sin⁡(2x)2+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

sin⁡(2x)2+constant\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                     
 |                                      
 | /   2         2   \          sin(2*x)
 | \cos (x) - sin (x)/ dx = C + --------
 |                                 2    
/
∫(−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)) dx=C+sin⁡(2x)2\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
   /p\    /p\
cos|-|*sin|-|
   \4/    \4/
sin⁡(p4)cos⁡(p4)\sin{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)} 
=
= 
   /p\    /p\
cos|-|*sin|-|
   \4/    \4/
sin⁡(p4)cos⁡(p4)\sin{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)} 
cos(p/4)*sin(p/4)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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