Integral de x^6*(2-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u^{7} - 2 u^{6}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{7}\right)\, du = - \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{6}\right)\, du = - 2 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{7}}{7}$

         El resultado es: $- \frac{u^{8}}{8} - \frac{2 u^{7}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{8}}{8} + \frac{2 x^{7}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{6} \left(2 - x\right) = - x^{7} + 2 x^{6}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{7}\right)\, dx = - \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{6}\, dx = 2 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{7}}{7}$

      El resultado es: $- \frac{x^{8}}{8} + \frac{2 x^{7}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{7} \left(16 - 7 x\right)}{56}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{7} \left(16 - 7 x\right)}{56}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{7} \left(16 - 7 x\right)}{56}+ \mathrm{constant}$