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Resolución de integrales/ (4-x)/ 2*x*(4-x)+((4-x)^2)/2

Integral de 2*x*(4-x)+((4-x)^2)/2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  4                            
  /                            
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 |  /                     2\   
 |  |              (4 - x) |   
 |  |2*x*(4 - x) + --------| dx
 |  \                 2    /   
 |                             
/                              
0
∫04(2x(4−x)+(4−x)22) dx\int\limits_{0}^{4} \left(2 x \left(4 - x\right) + \frac{\left(4 - x\right)^{2}}{2}\right)\, dx 
Integral((2*x)*(4 - x) + (4 - x)^2/2, (x, 0, 4))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

        ∫(2u2+8u) du\int \left(2 u^{2} + 8 u\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2u2 du=2∫u2 du\int 2 u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫8u du=8∫u du\int 8 u\, du = 8 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 4u24 u^{2}

          El resultado es: 2u33+4u2\frac{2 u^{3}}{3} + 4 u^{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2x33+4x2- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2x(4−x)=−2x2+8x2 x \left(4 - x\right) = - 2 x^{2} + 8 x

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2x2) dx=−2∫x2 dx\int \left(- 2 x^{2}\right)\, dx = - 2 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −2x33- \frac{2 x^{3}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8x dx=8∫x dx\int 8 x\, dx = 8 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 4x24 x^{2}

        El resultado es: −2x33+4x2- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(4−x)22 dx=∫(4−x)2 dx2\int \frac{\left(4 - x\right)^{2}}{2}\, dx = \frac{\int \left(4 - x\right)^{2}\, dx}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=4−xu = 4 - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −(4−x)33- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (4−x)2=x2−8x+16\left(4 - x\right)^{2} = x^{2} - 8 x + 16

        2. Integramos término a término:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−8x) dx=−8∫x dx\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −4x2- 4 x^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫16 dx=16x\int 16\, dx = 16 x

          El resultado es: x33−4x2+16x\frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 16 x

      Por lo tanto, el resultado es: −(4−x)36- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{6}

    El resultado es: −2x33+4x2−(4−x)36- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{6}

  2. Ahora simplificar:

    −x32+2x2+8x−323- \frac{x^{3}}{2} + 2 x^{2} + 8 x - \frac{32}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x32+2x2+8x−323+constant- \frac{x^{3}}{2} + 2 x^{2} + 8 x - \frac{32}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x32+2x2+8x−323+constant- \frac{x^{3}}{2} + 2 x^{2} + 8 x - \frac{32}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                                         
 | /                     2\                    3          3
 | |              (4 - x) |             2   2*x    (4 - x) 
 | |2*x*(4 - x) + --------| dx = C + 4*x  - ---- - --------
 | \                 2    /                  3        6    
 |                                                         
/
∫(2x(4−x)+(4−x)22) dx=C−2x33+4x2−(4−x)36\int \left(2 x \left(4 - x\right) + \frac{\left(4 - x\right)^{2}}{2}\right)\, dx = C - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{6}
Simplificar
Gráfica
0.04.00.51.01.52.02.53.03.5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
32
3232 
=
= 
32
3232 
32
Respuesta numérica [src] 
32.0
32.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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