Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x^2/1+x^3
Integral de (-log(x))/x^2
Integral de l
Integral de (e^(2*x)-cos(2*x))/(e^(2*x)-sin(2*x))
Expresiones idénticas
cos^ dos (2x)sin^ cuatro (2x)
coseno de al cuadrado (2x) seno de en el grado 4(2x)
coseno de en el grado dos (2x) seno de en el grado cuatro (2x)
cos2(2x)sin4(2x)
cos22xsin42x
cos²(2x)sin⁴(2x)
cos en el grado 2(2x)sin en el grado 4(2x)
cos^22xsin^42x
cos^2(2x)sin^4(2x)dx
Expresiones con funciones
Coseno cos
cos(x)/(sin^3(x))
cos(x)/sin^2x
cos(x)sin^2(x)
cos(x)*sin^2(x)
cos(x)/(sin^2(x))^1/3
Seno sin
sin(x)/(sqrt(1-x^2))
sin(x)×sin(x)×sin(x)
sin(x)sin(x)cos(x)
sin(x)/(sin(x+a))
sin(x)sin(x)cos(x)^n

Resolución de integrales/ sin^4/ cos^2/ cos^2(2x)sin^4(2x)

Integral de cos^2(2x)sin^4(2x) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                       
  /                       
 |                        
 |     2         4        
 |  cos (2*x)*sin (2*x) dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$$

Integral(cos(2*x)^2*sin(2*x)^4, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 4 x$ .
  
  Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{32} + \frac{1}{32}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{32}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{32}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{32}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$
    El resultado es: $\frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 8 x$ .
      
      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(4 x \right)}$ .
      
      Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 8 x$ .
      
      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$
    1. que $u = 4 x$ .
      
      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
  El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                      
 |                                 3                     
 |    2         4               sin (4*x)   sin(8*x)   x 
 | cos (2*x)*sin (2*x) dx = C - --------- - -------- + --
 |                                  96        128      16
/

$$\int \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                        3                5          
1    cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)   sin (2)*cos(2)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         32              48               12

$$\frac{\sin^{5}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{12} - \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{1}{16}$$

                        3                5          
1    cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)   sin (2)*cos(2)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         32              48               12

$$\frac{\sin^{5}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{12} - \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{1}{16}$$

1/16 - cos(2)*sin(2)/32 - sin(2)^3*cos(2)/48 + sin(2)^5*cos(2)/12

Respuesta numérica [src]

0.0592858328855552

0.0592858328855552

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos^2(2x)sin^4(2x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3