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Resolución de integrales/ sin^4/ cos^2/ cos^2(2x)sin^4(2x)

Integral de cos^2(2x)sin^4(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  cos (2*x)*sin (2*x) dx
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0
∫01sin⁡4(2x)cos⁡2(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(cos(2*x)^2*sin(2*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(2x)cos⁡2(2x)=(12−cos⁡(4x)2)2(cos⁡(4x)2+12)\sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=4xu = 4 x.

      Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos dudu:

      ∫(cos⁡3(u)32−cos⁡2(u)32−cos⁡(u)32+132) du\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{32} + \frac{1}{32}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡3(u)32 du=∫cos⁡3(u) du32\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{32}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡3(u)=(1−sin⁡2(u))cos⁡(u)\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}

          2. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫(1−u2) du\int \left(1 - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: −u33+u- \frac{u^{3}}{3} + u

            Si ahora sustituir uu más en:

            −sin⁡3(u)3+sin⁡(u)- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)96+sin⁡(u)32- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡2(u)32) du=−∫cos⁡2(u) du32\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{32}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(u)=cos⁡(2u)2+12\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2u)2 du=∫cos⁡(2u) du2\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2u)4\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            El resultado es: u2+sin⁡(2u)4\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u64−sin⁡(2u)128- \frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(u)32) du=−∫cos⁡(u) du32\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{32}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)32- \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫132 du=u32\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}

        El resultado es: u64−sin⁡(2u)128−sin⁡3(u)96\frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)2(cos⁡(4x)2+12)=cos⁡3(4x)8−cos⁡2(4x)8−cos⁡(4x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(4x)8 dx=∫cos⁡3(4x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(4x)=(1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}

        2. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

          Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(14−u24) du\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u24) du=−∫u2 du4\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u312- \frac{u^{3}}{12}

            El resultado es: −u312+u4- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(4x)96+sin⁡(4x)32- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(4x)8) dx=−∫cos⁡2(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(8x)128- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(4x)8) dx=−∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)32- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(4x)2)2(cos⁡(4x)2+12)=cos⁡3(4x)8−cos⁡2(4x)8−cos⁡(4x)8+18\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡3(4x)8 dx=∫cos⁡3(4x) dx8\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(4x)=(1−sin⁡2(4x))cos⁡(4x)\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}

        2. que u=sin⁡(4x)u = \sin{\left(4 x \right)}.

          Luego que du=4cos⁡(4x)dxdu = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(14−u24) du\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫14 du=u4\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u24) du=−∫u2 du4\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u312- \frac{u^{3}}{12}

            El resultado es: −u312+u4- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(4x)12+sin⁡(4x)4- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(4x)96+sin⁡(4x)32- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡2(4x)8) dx=−∫cos⁡2(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=8xu = 8 x.

              Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

              ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −x16−sin⁡(8x)128- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(4x)8) dx=−∫cos⁡(4x) dx8\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)32- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫18 dx=x8\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}

      El resultado es: x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128+constant\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                 3                     
 |    2         4               sin (4*x)   sin(8*x)   x 
 | cos (2*x)*sin (2*x) dx = C - --------- - -------- + --
 |                                  96        128      16
/
∫sin⁡4(2x)cos⁡2(2x) dx=C+x16−sin⁡3(4x)96−sin⁡(8x)128\int \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                        3                5          
1    cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)   sin (2)*cos(2)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         32              48               12
sin⁡5(2)cos⁡(2)12−sin⁡3(2)cos⁡(2)48−sin⁡(2)cos⁡(2)32+116\frac{\sin^{5}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{12} - \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{1}{16} 
=
= 
                        3                5          
1    cos(2)*sin(2)   sin (2)*cos(2)   sin (2)*cos(2)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         32              48               12
sin⁡5(2)cos⁡(2)12−sin⁡3(2)cos⁡(2)48−sin⁡(2)cos⁡(2)32+116\frac{\sin^{5}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{12} - \frac{\sin^{3}{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{32} + \frac{1}{16} 
1/16 - cos(2)*sin(2)/32 - sin(2)^3*cos(2)/48 + sin(2)^5*cos(2)/12
Respuesta numérica [src] 
0.0592858328855552
0.0592858328855552

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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