Integral de cos^2(2x)sin^4(2x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{32} + \frac{1}{32}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{32}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{32}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

            2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{32}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                  1. que $u = 2 u$.

                     Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                        1. La integral del coseno es seno:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

               El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{32}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{32}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$

         El resultado es: $\frac{u}{64} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{96}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

            Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 8 x$.

                  Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos^{3}{\left(4 x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \cos^{3}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{3}{\left(4 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(4 x \right)}\right) \cos{\left(4 x \right)}$

         2. que $u = \sin{\left(4 x \right)}$.

            Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{2}}{4}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{12}$

               El resultado es: $- \frac{u^{3}}{12} + \frac{u}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{12} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}$

               1. que $u = 8 x$.

                  Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{8}$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

               1. La integral del coseno es seno:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$

      El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(4 x \right)}}{96} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{128}+ \mathrm{constant}$