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Resolución de integrales/ x^2+8/ x^3+1/ (17x^2+8x+4)/(13x^3+12)

Integral de (17x^2+8x+4)/(13x^3+12) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                   
  /                   
 |                    
 |      2             
 |  17*x  + 8*x + 4   
 |  --------------- dx
 |         3          
 |     13*x  + 12     
 |                    
/                     
4
∫4∞(17x2+8x)+413x3+12 dx\int\limits_{4}^{\infty} \frac{\left(17 x^{2} + 8 x\right) + 4}{13 x^{3} + 12}\, dx 
Integral((17*x^2 + 8*x + 4)/(13*x^3 + 12), (x, 4, oo))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    (17x2+8x)+413x3+12=17x213x3+12+8x13x3+12+413x3+12\frac{\left(17 x^{2} + 8 x\right) + 4}{13 x^{3} + 12} = \frac{17 x^{2}}{13 x^{3} + 12} + \frac{8 x}{13 x^{3} + 12} + \frac{4}{13 x^{3} + 12}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫17x213x3+12 dx=17∫x213x3+12 dx\int \frac{17 x^{2}}{13 x^{3} + 12}\, dx = 17 \int \frac{x^{2}}{13 x^{3} + 12}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=13x3+12u = 13 x^{3} + 12.

          Luego que du=39x2dxdu = 39 x^{2} dx y ponemos du39\frac{du}{39}:

          ∫139u du\int \frac{1}{39 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du39\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{39}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)39\frac{\log{\left(u \right)}}{39}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(13x3+12)39\frac{\log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39}

        Método #2

        1. que u=x3u = x^{3}.

          Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

          ∫139u+36 du\int \frac{1}{39 u + 36}\, du

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=39u+36u = 39 u + 36.

              Luego que du=39dudu = 39 du y ponemos du39\frac{du}{39}:

              ∫139u du\int \frac{1}{39 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du39\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{39}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)39\frac{\log{\left(u \right)}}{39}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(39u+36)39\frac{\log{\left(39 u + 36 \right)}}{39}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              139u+36=13(13u+12)\frac{1}{39 u + 36} = \frac{1}{3 \left(13 u + 12\right)}

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫13(13u+12) du=∫113u+12 du3\int \frac{1}{3 \left(13 u + 12\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{13 u + 12}\, du}{3}

              1. que u=13u+12u = 13 u + 12.

                Luego que du=13dudu = 13 du y ponemos du13\frac{du}{13}:

                ∫113u du\int \frac{1}{13 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=∫1u du13\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{13}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)13\frac{\log{\left(u \right)}}{13}

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(13u+12)13\frac{\log{\left(13 u + 12 \right)}}{13}

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(13u+12)39\frac{\log{\left(13 u + 12 \right)}}{39}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(39x3+36)39\frac{\log{\left(39 x^{3} + 36 \right)}}{39}

      Por lo tanto, el resultado es: 17log⁡(13x3+12)39\frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫8x13x3+12 dx=8∫x13x3+12 dx\int \frac{8 x}{13 x^{3} + 12}\, dx = 8 \int \frac{x}{13 x^{3} + 12}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        (−263⋅323312−2343936)log⁡(x+1404(−263⋅323312−2343936)2)+2343log⁡(x2−20283x13+2234313)468+26336atan⁡(26336x3−33)78\left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right) \log{\left(x + 1404 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right)^{2} \right)} + \frac{\sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{468} + \frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{78}

      Por lo tanto, el resultado es: 8(−263⋅323312−2343936)log⁡(x+1404(−263⋅323312−2343936)2)+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+426336atan⁡(26336x3−33)398 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right) \log{\left(x + 1404 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right)^{2} \right)} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫413x3+12 dx=4∫113x3+12 dx\int \frac{4}{13 x^{3} + 12}\, dx = 4 \int \frac{1}{13 x^{3} + 12}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        20283log⁡(x+2028313)468+(−2623331248−202833744)log⁡(x2−20283x13+2234313)+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)468\frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{468} + \left(- \frac{26^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{1248} - \frac{\sqrt[3]{2028}}{3744}\right) \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{468}

      Por lo tanto, el resultado es: 20283log⁡(x+2028313)117+4(−2623331248−202833744)log⁡(x2−20283x13+2234313)+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117\frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + 4 \left(- \frac{26^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{1248} - \frac{\sqrt[3]{2028}}{3744}\right) \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117}

    El resultado es: 20283log⁡(x+2028313)117+8(−263⋅323312−2343936)log⁡(x+1404(−263⋅323312−2343936)2)+17log⁡(13x3+12)39+4(−2623331248−202833744)log⁡(x2−20283x13+2234313)+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117+426336atan⁡(26336x3−33)39\frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + 8 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right) \log{\left(x + 1404 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right)^{2} \right)} + \frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39} + 4 \left(- \frac{26^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{1248} - \frac{\sqrt[3]{2028}}{3744}\right) \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}

  3. Ahora simplificar:

    −42343log⁡(x+2028313)117+20283log⁡(x+2028313)117+17log⁡(13x3+12)39−20283log⁡(x2−20283x13+2234313)234+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117+426336atan⁡(26336x3−33)39- \frac{4 \sqrt[3]{234} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39} - \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{234} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −42343log⁡(x+2028313)117+20283log⁡(x+2028313)117+17log⁡(13x3+12)39−20283log⁡(x2−20283x13+2234313)234+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117+426336atan⁡(26336x3−33)39+constant- \frac{4 \sqrt[3]{234} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39} - \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{234} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−42343log⁡(x+2028313)117+20283log⁡(x+2028313)117+17log⁡(13x3+12)39−20283log⁡(x2−20283x13+2234313)234+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117+426336atan⁡(26336x3−33)39+constant- \frac{4 \sqrt[3]{234} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + \frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39} - \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{234} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                                                 /    3 ______\                /       3 _____     3 ______\                  /    ___     6 ___ 3 ____\                      /    ___     6 ___ 3 ____\
 |                                                                                                                                              /                                  2\   3 ______    |    \/ 2028 |     3 _____    | 2   2*\/ 234    x*\/ 2028 |    5/6   2/3     |  \/ 3    x*\/ 3 *\/ 26 |     6 ___ 3 ____     |  \/ 3    x*\/ 3 *\/ 26 |
 |     2                          /    3     \     /  3 ______   3 ___   2/3\    /       3 _____     3 ______\     /  3 _____    2/3 3 ____\    |         /  3 _____    2/3 3 ____\ |   \/ 2028 *log|x + --------|   2*\/ 234 *log|x  + --------- - ----------|   3   *26   *atan|- ----- + --------------|   4*\/ 3 *\/ 26 *atan|- ----- + --------------|
 | 17*x  + 8*x + 4          17*log\13*x  + 12/     |  \/ 2028    \/ 3 *26   |    | 2   2*\/ 234    x*\/ 2028 |     |  \/ 234    3   *\/ 26 |    |         |  \/ 234    3   *\/ 26 | |               \       13   /                \         13          13    /                  \    3           3       /                      \    3           3       /
 | --------------- dx = C + ------------------ + 4*|- -------- - -----------|*log|x  + --------- - ----------| + 8*|- ------- - -----------|*log|x + 1404*|- ------- - -----------| | + -------------------------- + ------------------------------------------ + ----------------------------------------- + ---------------------------------------------
 |        3                         39             \    3744         1248   /    \         13          13    /     \    936         312    /    \         \    936         312    / /              117                                  117                                          117                                            39                     
 |    13*x  + 12                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
 |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
/
∫(17x2+8x)+413x3+12 dx=C+20283log⁡(x+2028313)117+8(−263⋅323312−2343936)log⁡(x+1404(−263⋅323312−2343936)2)+17log⁡(13x3+12)39+4(−2623331248−202833744)log⁡(x2−20283x13+2234313)+22343log⁡(x2−20283x13+2234313)117+2623⋅356atan⁡(26336x3−33)117+426336atan⁡(26336x3−33)39\int \frac{\left(17 x^{2} + 8 x\right) + 4}{13 x^{3} + 12}\, dx = C + \frac{\sqrt[3]{2028} \log{\left(x + \frac{\sqrt[3]{2028}}{13} \right)}}{117} + 8 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right) \log{\left(x + 1404 \left(- \frac{\sqrt[3]{26} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{312} - \frac{\sqrt[3]{234}}{936}\right)^{2} \right)} + \frac{17 \log{\left(13 x^{3} + 12 \right)}}{39} + 4 \left(- \frac{26^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{1248} - \frac{\sqrt[3]{2028}}{3744}\right) \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)} + \frac{2 \sqrt[3]{234} \log{\left(x^{2} - \frac{\sqrt[3]{2028} x}{13} + \frac{2 \sqrt[3]{234}}{13} \right)}}{117} + \frac{26^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{117} + \frac{4 \sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{26} \sqrt[6]{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{39}
Simplificar
Gráfica
4.00004.01004.00104.00204.00304.00404.00504.00604.00704.00804.009002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 oo                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  4 + 8*x + 17*x    
 |  --------------- dx
 |              3     
 |     12 + 13*x      
 |                    
/                     
4
∫4∞17x2+8x+413x3+12 dx\int\limits_{4}^{\infty} \frac{17 x^{2} + 8 x + 4}{13 x^{3} + 12}\, dx 
=
= 
 oo                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  4 + 8*x + 17*x    
 |  --------------- dx
 |              3     
 |     12 + 13*x      
 |                    
/                     
4
∫4∞17x2+8x+413x3+12 dx\int\limits_{4}^{\infty} \frac{17 x^{2} + 8 x + 4}{13 x^{3} + 12}\, dx 
Integral((4 + 8*x + 17*x^2)/(12 + 13*x^3), (x, 4, oo))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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