Sr Examen

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Integral de (2cosx+√sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                            
  /                            
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 |  /             ________\    
 |  \2*cos(x) + \/ sin(x) /  dx
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0                              
01(sin(x)+2cos(x))2dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx
Integral((2*cos(x) + sqrt(sin(x)))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin(x)+2cos(x))2=4sin(x)cos(x)+sin(x)+4cos2(x)\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4sin(x)cos(x)dx=4sin(x)cos(x)dx\int 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          udu\int \sqrt{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin32(x)3\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin32(x)3\frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4cos2(x)dx=4cos2(x)dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos2(x)=cos(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 2x+8sin32(x)3+sin(2x)cos(x)2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin(x)+2cos(x))2=4sin(x)cos(x)+sin(x)+4cos2(x)\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4sin(x)cos(x)dx=4sin(x)cos(x)dx\int 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          udu\int \sqrt{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin32(x)3\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin32(x)3\frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        4cos2(x)dx=4cos2(x)dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos2(x)=cos(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            cos(2x)2dx=cos(2x)dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              cos(u)2du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                cos(u)du=cos(u)du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            12dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 2x+8sin32(x)3+sin(2x)cos(x)2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x+8sin32(x)3+sin(2x)cos(x)+constant2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2x+8sin32(x)3+sin(2x)cos(x)+constant2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                       
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 |                        2                              3/2              
 | /             ________\                          8*sin   (x)           
 | \2*cos(x) + \/ sin(x) /  dx = C - cos(x) + 2*x + ----------- + sin(2*x)
 |                                                       3                
/                                                                         
(sin(x)+2cos(x))2dx=C+2x+8sin32(x)3+sin(2x)cos(x)\int \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + 2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Respuesta [src]
                                          3/2                     
                  2           2      8*sin   (1)                  
1 - cos(1) + 2*cos (1) + 2*sin (1) + ----------- + 2*cos(1)*sin(1)
                                          3                       
cos(1)+2cos2(1)+2sin(1)cos(1)+1+2sin2(1)+8sin32(1)3- \cos{\left(1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(1 \right)}}{3}
=
=
                                          3/2                     
                  2           2      8*sin   (1)                  
1 - cos(1) + 2*cos (1) + 2*sin (1) + ----------- + 2*cos(1)*sin(1)
                                          3                       
cos(1)+2cos2(1)+2sin(1)cos(1)+1+2sin2(1)+8sin32(1)3- \cos{\left(1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(1 \right)}}{3}
1 - cos(1) + 2*cos(1)^2 + 2*sin(1)^2 + 8*sin(1)^(3/2)/3 + 2*cos(1)*sin(1)
Respuesta numérica [src]
5.42738411188713
5.42738411188713

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.