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Resolución de integrales/ √sinx/ 2cosx/ (2cosx+√sinx)^2

Integral de (2cosx+√sinx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
  /                            
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 |  /             ________\    
 |  \2*cos(x) + \/ sin(x) /  dx
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/                              
0
∫01(sin⁡(x)+2cos⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((2*cos(x) + sqrt(sin(x)))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+2cos⁡(x))2=4sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)+4cos⁡2(x)\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x)cos⁡(x) dx=4∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u du\int \sqrt{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡32(x)3\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡32(x)3\frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 2x+8sin⁡32(x)3+sin⁡(2x)−cos⁡(x)2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)+2cos⁡(x))2=4sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)+4cos⁡2(x)\left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4sin⁡(x)cos⁡(x) dx=4∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sqrt{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u du\int \sqrt{u}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡32(x)3\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡32(x)3\frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

      El resultado es: 2x+8sin⁡32(x)3+sin⁡(2x)−cos⁡(x)2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2x+8sin⁡32(x)3+sin⁡(2x)−cos⁡(x)+constant2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x+8sin⁡32(x)3+sin⁡(2x)−cos⁡(x)+constant2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
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 |                        2                              3/2              
 | /             ________\                          8*sin   (x)           
 | \2*cos(x) + \/ sin(x) /  dx = C - cos(x) + 2*x + ----------- + sin(2*x)
 |                                                       3                
/
∫(sin⁡(x)+2cos⁡(x))2 dx=C+2x+8sin⁡32(x)3+sin⁡(2x)−cos⁡(x)\int \left(\sqrt{\sin{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + 2 x + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                          3/2                     
                  2           2      8*sin   (1)                  
1 - cos(1) + 2*cos (1) + 2*sin (1) + ----------- + 2*cos(1)*sin(1)
                                          3
−cos⁡(1)+2cos⁡2(1)+2sin⁡(1)cos⁡(1)+1+2sin⁡2(1)+8sin⁡32(1)3- \cos{\left(1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
                                          3/2                     
                  2           2      8*sin   (1)                  
1 - cos(1) + 2*cos (1) + 2*sin (1) + ----------- + 2*cos(1)*sin(1)
                                          3
−cos⁡(1)+2cos⁡2(1)+2sin⁡(1)cos⁡(1)+1+2sin⁡2(1)+8sin⁡32(1)3- \cos{\left(1 \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(1 \right)}}{3} 
1 - cos(1) + 2*cos(1)^2 + 2*sin(1)^2 + 8*sin(1)^(3/2)/3 + 2*cos(1)*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
5.42738411188713
5.42738411188713

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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