Integral de 1/(y-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x + y$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(- x + y \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x + y} = - \frac{1}{x - y}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x - y}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - y}\, dx$

      1. que $u = x - y$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - y \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - y \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x + y} = - \frac{1}{x - y}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x - y}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - y}\, dx$

      1. que $u = x - y$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(x - y \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(- x + y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(- x + y \right)}+ \mathrm{constant}$