Sr Examen
Integral de (3*x-2)/(x^2-2*x+5) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 2}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx$$
Integral((3*x - 2)/(x^2 - 2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 5 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x - 2
3*------------
2
3*x - 2 x - 2*x + 5 1
------------ = -------------- + ------------------
2 2 / 2 \
x - 2*x + 5 |/ x 1\ |
4*||- - + -| + 1|
\\ 2 2/ /o
/ | | 3*x - 2 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 5 | /
/
|
| 1 /
| -------------- dx |
| 2 | 2*x - 2
| / x 1\ 3* | ------------ dx
| |- - + -| + 1 | 2
| \ 2 2/ | x - 2*x + 5
| |
/ /
-------------------- + --------------------
4 2 En integral
/
|
| 2*x - 2
3* | ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
3* | ----- du
| 5 + u
|
/ 3*log(5 + u)
------------- = ------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x - 2
3* | ------------ dx
| 2
| x - 2*x + 5
| / 2 \
/ 3*log\5 + x - 2*x/
-------------------- = -------------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
4 hacemos el cambio
1 x
v = - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| atan|- - + -|
/ \ 2 2/
-------------------- = -------------
4 2 La solución:
/ 1 x\
atan|- - + -| / 2 \
\ 2 2/ 3*log\5 + x - 2*x/
C + ------------- + -------------------
2 2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / 1 x\ | atan|- - + -| / 2 \ | 3*x - 2 \ 2 2/ 3*log\5 + x - 2*x/ | ------------ dx = C + ------------- + ------------------- | 2 2 2 | x - 2*x + 5 | /
$$\int \frac{3 x - 2}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} - 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
atan(1/2) 3*log(5) 3*log(4)
--------- - -------- + --------
2 2 2
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2}$$
=
=
atan(1/2) 3*log(5) 3*log(4)
--------- - -------- + --------
2 2 2
$$- \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2}$$
atan(1/2)/2 - 3*log(5)/2 + 3*log(4)/2
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.