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Resolución de integrales/ (3-4x)/ cos^2/ (3-4x)*cos^2(x)

Integral de (3-4x)*cos^2(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                     
  /                     
 |                      
 |               2      
 |  (3 - 4*x)*cos (x) dx
 |                      
/                       
pi                      
--                      
4
∫π4π(3−4x)cos⁡2(x) dx\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \left(3 - 4 x\right) \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3 - 4*x)*cos(x)^2, (x, pi/4, pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−4x)cos⁡2(x)=−4xcos⁡2(x)+3cos⁡2(x)\left(3 - 4 x\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = - 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4xcos⁡2(x)) dx=−4∫xcos⁡2(x) dx\int \left(- 4 x \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2+cos⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2sin⁡2(x)−x2cos⁡2(x)−2xsin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)- x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(x) dx=3∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2+3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: −x2sin⁡2(x)−x2cos⁡2(x)−2xsin⁡(x)cos⁡(x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)- x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−4x)cos⁡2(x)=−4xcos⁡2(x)+3cos⁡2(x)\left(3 - 4 x\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = - 4 x \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4xcos⁡2(x)) dx=−4∫xcos⁡2(x) dx\int \left(- 4 x \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2+cos⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2sin⁡2(x)−x2cos⁡2(x)−2xsin⁡(x)cos⁡(x)−cos⁡2(x)- x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3cos⁡2(x) dx=3∫cos⁡2(x) dx\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2+3sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: −x2sin⁡2(x)−x2cos⁡2(x)−2xsin⁡(x)cos⁡(x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)- x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −x2−xsin⁡(2x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡(2x)2−12- x^{2} - x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{1}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x2−xsin⁡(2x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡(2x)2−12+constant- x^{2} - x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2−xsin⁡(2x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡(2x)2−12+constant- x^{2} - x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                   
 |                                                                                                    
 |              2                2      3*x   3*sin(2*x)    2    2       2    2                       
 | (3 - 4*x)*cos (x) dx = C - cos (x) + --- + ---------- - x *cos (x) - x *sin (x) - 2*x*cos(x)*sin(x)
 |                                       2        4                                                   
/
∫(3−4x)cos⁡2(x) dx=C−x2sin⁡2(x)−x2cos⁡2(x)−2xsin⁡(x)cos⁡(x)+3x2+3sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)\int \left(3 - 4 x\right) \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} - x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \cos^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.0-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           2        
  5   15*pi    11*pi
- - - ------ + -----
  4     16       8
−15π216−54+11π8- \frac{15 \pi^{2}}{16} - \frac{5}{4} + \frac{11 \pi}{8} 
=
= 
           2        
  5   15*pi    11*pi
- - - ------ + -----
  4     16       8
−15π216−54+11π8- \frac{15 \pi^{2}}{16} - \frac{5}{4} + \frac{11 \pi}{8} 
-5/4 - 15*pi^2/16 + 11*pi/8
Respuesta numérica [src] 
-6.18306422733531
-6.18306422733531

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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