Integral de e^x×(1-2x×e^-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \left(2 u e^{u} + 1\right) e^{- u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(2 u e^{u} + 1\right) e^{- u}\, du = - \int \left(2 u e^{u} + 1\right) e^{- u}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(2 u - e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               El resultado es: $u^{2} - e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u^{2} - e^{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} + e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{2} + e^{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x} \left(- e^{- x} 2 x + 1\right) = - 2 x + e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      El resultado es: $- x^{2} + e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x^{2} + e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x^{2} + e^{x}+ \mathrm{constant}$