Integral de xsqrt(10x^2-6dx) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 10 x^{2} - 6$.

      Luego que $du = 20 x dx$ y ponemos $\frac{du}{20}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{20}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{20}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{30}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(10 x^{2} - 6\right)^{\frac{3}{2}}}{30}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \sqrt{10 x^{2} - 6} = \sqrt{2} x \sqrt{5 x^{2} - 3}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{2} x \sqrt{5 x^{2} - 3}\, dx = \sqrt{2} \int x \sqrt{5 x^{2} - 3}\, dx$

      1. que $u = 5 x^{2} - 3$.

         Luego que $du = 10 x dx$ y ponemos $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{10}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{10}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{15}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(5 x^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{15}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(5 x^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{15}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(5 x^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(5 x^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(5 x^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}}}{15}+ \mathrm{constant}$