Integral de 7x+8/(x-1)(2x+3)×dx dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 7 x\, dx = 7 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 x^{2}}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{8}{x - 1} \left(2 x + 3\right) = 16 + \frac{40}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, dx = 16 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{40}{x - 1}\, dx = 40 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $40 \log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $16 x + 40 \log{\left(x - 1 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{8}{x - 1} \left(2 x + 3\right) = \frac{16 x + 24}{x - 1}$

      2. que $u = 16 x$.

         Luego que $du = 16 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 24}{u - 16}\, du$

         1. que $u = u - 16$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u + 40}{u}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 40}{u} = 1 + \frac{40}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{40}{u}\, du = 40 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $40 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 40 \log{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $u + 40 \log{\left(u - 16 \right)} - 16$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $16 x + 40 \log{\left(16 x - 16 \right)} - 16$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{8}{x - 1} \left(2 x + 3\right) = \frac{16 x}{x - 1} + \frac{24}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{16 x}{x - 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{x - 1}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, dx = x$

               1. que $u = x - 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 1 \right)}$

               El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $16 x + 16 \log{\left(x - 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{24}{x - 1}\, dx = 24 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $24 \log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $16 x + 16 \log{\left(x - 1 \right)} + 24 \log{\left(x - 1 \right)}$

   El resultado es: $\frac{7 x^{2}}{2} + 16 x + 40 \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{7 x^{2}}{2} + 16 x + 40 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{7 x^{2}}{2} + 16 x + 40 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$