Integral de x^4*sin(x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 4 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 12 x^{2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 12 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 24 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

4. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 24 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 24 \sin{\left(x \right)}\, dx = 24 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \cos{\left(x \right)}$

6. Añadimos la constante de integración:

   $- x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 12 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 24 x \sin{\left(x \right)} - 24 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x^{4} \cos{\left(x \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 12 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 24 x \sin{\left(x \right)} - 24 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$