Integral de e^x/e^x+5 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 5\, dx = 5 x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} \right)}$

      Método #2

      1. que $u = \frac{1}{e^{x}}$.

         Luego que $du = - e^{- x} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(e^{x} \right)}$

   El resultado es: $5 x + \log{\left(e^{x} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $5 x + \log{\left(e^{x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $5 x + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 x + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$