Integral de 5^x(1-5^(-x)/x^7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{5^{- u} \left(5^{u} + u^{7}\right)}{u^{7}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5^{- u} \left(5^{u} + u^{7}\right)}{u^{7}}\, du = - \int \frac{5^{- u} \left(5^{u} + u^{7}\right)}{u^{7}}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{5^{u} u^{7} - 1}{u^{7}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5^{u} u^{7} - 1}{u^{7}}\, du = - \int \frac{5^{u} u^{7} - 1}{u^{7}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{5^{u} u^{7} - 1}{u^{7}} = 5^{u} - \frac{1}{u^{7}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                     $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{u^{7}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{7}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{7}}\, du = - \frac{1}{6 u^{6}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 u^{6}}$

                  El resultado es: $\frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 u^{6}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{6 u^{6}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{6 u^{6}} - \frac{5^{- u}}{\log{\left(5 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 u^{6}} + \frac{5^{- u}}{\log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 x^{6}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{x} \left(1 - \frac{5^{- x}}{x^{7}}\right) = \frac{5^{x} x^{7} - 1}{x^{7}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5^{x} x^{7} - 1}{x^{7}} = 5^{x} - \frac{1}{x^{7}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 5^{x}\, dx = \frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{7}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{7}}\, dx = - \frac{1}{6 x^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 x^{6}}$

      El resultado es: $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 x^{6}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{x} \left(1 - \frac{5^{- x}}{x^{7}}\right) = 5^{x} - \frac{1}{x^{7}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 5^{x}\, dx = \frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{7}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{7}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{7}}\, dx = - \frac{1}{6 x^{6}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{6 x^{6}}$

      El resultado es: $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 x^{6}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 x^{6}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} + \frac{1}{6 x^{6}}+ \mathrm{constant}$