Integral de sin2x/(3sin^2x+4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx$

      1. que $u = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4$.

         Luego que $du = 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4} = \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4}\, dx$

      1. que $u = 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4$.

         Luego que $du = 6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$