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Resolución de integrales/ t^2+1/ e^(t^2+18)*(t^2+13t+42)

Integral de e^(t^2+18)*(t^2+13t+42) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                             
  /                             
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 |    2                         
 |   t  + 18 / 2            \   
 |  E       *\t  + 13*t + 42/ dt
 |                              
/                               
-18
∫−18xet2+18((t2+13t)+42) dt\int\limits_{-18}^{x} e^{t^{2} + 18} \left(\left(t^{2} + 13 t\right) + 42\right)\, dt 
Integral(E^(t^2 + 18)*(t^2 + 13*t + 42), (t, -18, x))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      et2+18((t2+13t)+42)=t2e18et2+13te18et2+42e18et2e^{t^{2} + 18} \left(\left(t^{2} + 13 t\right) + 42\right) = t^{2} e^{18} e^{t^{2}} + 13 t e^{18} e^{t^{2}} + 42 e^{18} e^{t^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2e18et2 dt=e18∫t2et2 dt\int t^{2} e^{18} e^{t^{2}}\, dt = e^{18} \int t^{2} e^{t^{2}}\, dt

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=t2u{\left(t \right)} = t^{2} y que dv⁡(t)=et2\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t^{2}}.

          Entonces du⁡(t)=2t\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2 t.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πterfi⁡(t) dt=π∫terfi⁡(t) dt\int \sqrt{\pi} t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt = \sqrt{\pi} \int t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: (πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4))e18\left(\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)\right) e^{18}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13te18et2 dt=13e18∫tet2 dt\int 13 t e^{18} e^{t^{2}}\, dt = 13 e^{18} \int t e^{t^{2}}\, dt

        1. que u=t2u = t^{2}.

          Luego que du=2tdtdu = 2 t dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          et22\frac{e^{t^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 13e18et22\frac{13 e^{18} e^{t^{2}}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫42e18et2 dt=42e18∫et2 dt\int 42 e^{18} e^{t^{2}}\, dt = 42 e^{18} \int e^{t^{2}}\, dt

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es: 21πe18erfi⁡(t)21 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}

      El resultado es: (πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4))e18+13e18et22+21πe18erfi⁡(t)\left(\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)\right) e^{18} + \frac{13 e^{18} e^{t^{2}}}{2} + 21 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      et2+18((t2+13t)+42)=t2e18et2+13te18et2+42e18et2e^{t^{2} + 18} \left(\left(t^{2} + 13 t\right) + 42\right) = t^{2} e^{18} e^{t^{2}} + 13 t e^{18} e^{t^{2}} + 42 e^{18} e^{t^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2e18et2 dt=e18∫t2et2 dt\int t^{2} e^{18} e^{t^{2}}\, dt = e^{18} \int t^{2} e^{t^{2}}\, dt

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=t2u{\left(t \right)} = t^{2} y que dv⁡(t)=et2\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t^{2}}.

          Entonces du⁡(t)=2t\operatorname{du}{\left(t \right)} = 2 t.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

            ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫πterfi⁡(t) dt=π∫terfi⁡(t) dt\int \sqrt{\pi} t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt = \sqrt{\pi} \int t \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\, dt

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)

        Por lo tanto, el resultado es: (πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4))e18\left(\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)\right) e^{18}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫13te18et2 dt=13e18∫tet2 dt\int 13 t e^{18} e^{t^{2}}\, dt = 13 e^{18} \int t e^{t^{2}}\, dt

        1. que u=t2u = t^{2}.

          Luego que du=2tdtdu = 2 t dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          et22\frac{e^{t^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 13e18et22\frac{13 e^{18} e^{t^{2}}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫42e18et2 dt=42e18∫et2 dt\int 42 e^{18} e^{t^{2}}\, dt = 42 e^{18} \int e^{t^{2}}\, dt

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(t**2), symbol=t)

        Por lo tanto, el resultado es: 21πe18erfi⁡(t)21 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}

      El resultado es: (πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4))e18+13e18et22+21πe18erfi⁡(t)\left(\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)\right) e^{18} + \frac{13 e^{18} e^{t^{2}}}{2} + 21 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (2tet2+26et2+83πerfi⁡(t))e184\frac{\left(2 t e^{t^{2}} + 26 e^{t^{2}} + 83 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\right) e^{18}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2tet2+26et2+83πerfi⁡(t))e184+constant\frac{\left(2 t e^{t^{2}} + 26 e^{t^{2}} + 83 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\right) e^{18}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2tet2+26et2+83πerfi⁡(t))e184+constant\frac{\left(2 t e^{t^{2}} + 26 e^{t^{2}} + 83 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}\right) e^{18}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                              
 |                                    /         /                          / 2\ \                    \               / 2\                        
 |   2                                |         |           2              \t / |     ____  2        |           18  \t /                        
 |  t  + 18 / 2            \          |    ____ |erfi(t)   t *erfi(t)   t*e     |   \/ pi *t *erfi(t)|  18   13*e  *e            ____          18
 | E       *\t  + 13*t + 42/ dt = C + |- \/ pi *|------- + ---------- - --------| + -----------------|*e   + ------------ + 21*\/ pi *erfi(t)*e  
 |                                    |         |   4          2            ____|           2        |            2                              
/                                     \         \                       2*\/ pi /                    /
∫et2+18((t2+13t)+42) dt=C+(πt2erfi⁡(t)2−π(t2erfi⁡(t)2−tet22π+erfi⁡(t)4))e18+13e18et22+21πe18erfi⁡(t)\int e^{t^{2} + 18} \left(\left(t^{2} + 13 t\right) + 42\right)\, dt = C + \left(\frac{\sqrt{\pi} t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{t^{2} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t e^{t^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(t \right)}}{4}\right)\right) e^{18} + \frac{13 e^{18} e^{t^{2}}}{2} + 21 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(t \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                 / 2\          / 2\                                                 
   342       18  \x /      18  \x /        ____           18        ____          18
5*e      13*e  *e       x*e  *e       83*\/ pi *erfi(18)*e     83*\/ pi *erfi(x)*e  
------ + ------------ + ----------- + ---------------------- + ---------------------
  2           2              2                  4                        4
xe18ex22+13e18ex22+83πe18erfi⁡(x)4+83πe18erfi⁡(18)4+5e3422\frac{x e^{18} e^{x^{2}}}{2} + \frac{13 e^{18} e^{x^{2}}}{2} + \frac{83 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4} + \frac{83 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(18 \right)}}{4} + \frac{5 e^{342}}{2} 
=
= 
                 / 2\          / 2\                                                 
   342       18  \x /      18  \x /        ____           18        ____          18
5*e      13*e  *e       x*e  *e       83*\/ pi *erfi(18)*e     83*\/ pi *erfi(x)*e  
------ + ------------ + ----------- + ---------------------- + ---------------------
  2           2              2                  4                        4
xe18ex22+13e18ex22+83πe18erfi⁡(x)4+83πe18erfi⁡(18)4+5e3422\frac{x e^{18} e^{x^{2}}}{2} + \frac{13 e^{18} e^{x^{2}}}{2} + \frac{83 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4} + \frac{83 \sqrt{\pi} e^{18} \operatorname{erfi}{\left(18 \right)}}{4} + \frac{5 e^{342}}{2} 
5*exp(342)/2 + 13*exp(18)*exp(x^2)/2 + x*exp(18)*exp(x^2)/2 + 83*sqrt(pi)*erfi(18)*exp(18)/4 + 83*sqrt(pi)*erfi(x)*exp(18)/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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