Integral de x^2/(3x+1)^(1/2) dx

1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

   $\int \frac{2 \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2}}{3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2}\, du = \frac{2 \int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2}\, du}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{u^{4}}{9} - \frac{2 u^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{9}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{9}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{45}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 u^{2}}{9}\right)\, du = - \frac{2 \int u^{2}\, du}{9}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{27}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{45} - \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{u}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{135} - \frac{4 u^{3}}{81} + \frac{2 u}{27}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{135} - \frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{81} + \frac{2 \sqrt{3 x + 1}}{27}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} - 12 x + 8\right)}{405}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} - 12 x + 8\right)}{405}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} - 12 x + 8\right)}{405}+ \mathrm{constant}$