Sr Examen

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Integral de x^(3/2)ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1               
  /               
 |                
 |   3/2          
 |  x   *log(x) dx
 |                
/                 
0                 
01x32log(x)dx\int\limits_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}\, dx
Integral(x^(3/2)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ue5u2du\int u e^{\frac{5 u}{2}}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e5u2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{5 u}{2}}.

        Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=5u2u = \frac{5 u}{2}.

          Luego que du=5du2du = \frac{5 du}{2} y ponemos 2du5\frac{2 du}{5}:

          2eu5du\int \frac{2 e^{u}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu5\frac{2 e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2e5u25\frac{2 e^{\frac{5 u}{2}}}{5}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2e5u25du=2e5u2du5\int \frac{2 e^{\frac{5 u}{2}}}{5}\, du = \frac{2 \int e^{\frac{5 u}{2}}\, du}{5}

        1. que u=5u2u = \frac{5 u}{2}.

          Luego que du=5du2du = \frac{5 du}{2} y ponemos 2du5\frac{2 du}{5}:

          2eu5du\int \frac{2 e^{u}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu5\frac{2 e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2e5u25\frac{2 e^{\frac{5 u}{2}}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 4e5u225\frac{4 e^{\frac{5 u}{2}}}{25}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2x52log(x)54x5225\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \log{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{25}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv(x)=x32\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x32dx=2x525\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      2x325dx=2x32dx5\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{5}\, dx = \frac{2 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{5}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        x32dx=2x525\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: 4x5225\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{25}

  2. Ahora simplificar:

    2x52(5log(x)2)25\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{25}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x52(5log(x)2)25+constant\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{25}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2x52(5log(x)2)25+constant\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \left(5 \log{\left(x \right)} - 2\right)}{25}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                           
 |                         5/2      5/2       
 |  3/2                 4*x      2*x   *log(x)
 | x   *log(x) dx = C - ------ + -------------
 |                        25           5      
/                                             
x32log(x)dx=C+2x52log(x)54x5225\int x^{\frac{3}{2}} \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \log{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{25}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.500.25
Respuesta [src]
-4/25
425- \frac{4}{25}
=
=
-4/25
425- \frac{4}{25}
-4/25
Respuesta numérica [src]
-0.16
-0.16

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.