Integral de (x+y+z)/(2(z+y+x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 \left(x + \left(y + z\right)\right)$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x + \left(y + z\right)}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{z + \left(x + y\right)}{2 \left(x + \left(y + z\right)\right)} = \frac{1}{2}$

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{z + \left(x + y\right)}{2 \left(x + \left(y + z\right)\right)} = \frac{x}{2 x + 2 y + 2 z} + \frac{y}{2 x + 2 y + 2 z} + \frac{z}{2 x + 2 y + 2 z}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{2 x + 2 y + 2 z} = - \frac{y + z}{2 \left(x + y + z\right)} + \frac{1}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{y + z}{2 \left(x + y + z\right)}\right)\, dx = \left(- \frac{y}{2} - \frac{z}{2}\right) \int \frac{1}{x + y + z}\, dx$

            1. que $u = x + y + z$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + y + z \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\left(- \frac{y}{2} - \frac{z}{2}\right) \log{\left(x + y + z \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         El resultado es: $\frac{x}{2} + \left(- \frac{y}{2} - \frac{z}{2}\right) \log{\left(x + y + z \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{y}{2 x + 2 y + 2 z}\, dx = y \int \frac{1}{2 x + 2 y + 2 z}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 2 x + 2 y + 2 z$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{2 x + 2 y + 2 z} = \frac{1}{2 \left(x + y + z\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(x + y + z\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + y + z}\, dx}{2}$

               1. que $u = x + y + z$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + y + z \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + y + z \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y \log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{z}{2 x + 2 y + 2 z}\, dx = z \int \frac{1}{2 x + 2 y + 2 z}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 2 y + 2 z$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{z \log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{y \log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2} + \frac{z \log{\left(2 x + 2 y + 2 z \right)}}{2} + \left(- \frac{y}{2} - \frac{z}{2}\right) \log{\left(x + y + z \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2}+ \mathrm{constant}$