Integral de sqrt(36-81*x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sqrt{36 - 81 x^{2}} = 3 \sqrt{4 - 9 x^{2}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 3 \sqrt{4 - 9 x^{2}}\, dx = 3 \int \sqrt{4 - 9 x^{2}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta)/3, rewritten=4*cos(_theta)**2/3, substep=ConstantTimesRule(constant=4/3, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2/3, symbol=_theta), restriction=(x > -2/3) & (x < 2/3), context=sqrt(4 - 9*x**2), symbol=x)

   Por lo tanto, el resultado es: $3 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - 9 x^{2}}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}{3} & \text{for}\: x > - \frac{2}{3} \wedge x < \frac{2}{3} \end{cases}\right)$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{3 x \sqrt{4 - 9 x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{2} \right)} & \text{for}\: x > - \frac{2}{3} \wedge x < \frac{2}{3} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{3 x \sqrt{4 - 9 x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{2} \right)} & \text{for}\: x > - \frac{2}{3} \wedge x < \frac{2}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{3 x \sqrt{4 - 9 x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{3 x}{2} \right)} & \text{for}\: x > - \frac{2}{3} \wedge x < \frac{2}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$