Integral de x^2×exp(-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 2 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 e^{- x}\, dx = 2 \int e^{- x}\, dx$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x^{2} + 2 x + 2\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$