Integral de (4x^2-x+4)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{4 u^{2} + u + 4}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 u^{2} + u + 4}{u} = 4 u + 1 + \frac{4}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $2 u^{2} + u + 4 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{2} - x + 4 \log{\left(- x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(4 x^{2} - x\right) + 4}{x} = 4 x - 1 + \frac{4}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x\, dx = 4 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $2 x^{2} - x + 4 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{2} - x + 4 \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{2} - x + 4 \log{\left(- x \right)}+ \mathrm{constant}$