Integral de sin^3t dt

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 pi           
 --           
 2            
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (t) dt
 |            
/             
0

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}{\left(t \right)}\, dt

Integral(sin(t)^3, (t, 0, pi/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{3}{\left(t \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \cos{\left(t \right)}$ .
  
  Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(u^{2} - 1\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-1\right)\, du = - u$
    El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - u$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3} - \cos{\left(t \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3}$
  1. La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$
  El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3} - \cos{\left(t \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \sin{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} + \sin{\left(t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3}$
  1. La integral del seno es un coseno menos:
    
    $\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}$
  El resultado es: $\frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3} - \cos{\left(t \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \cos{\left(t \right)}}{6}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \cos{\left(t \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\cos{\left(2 t \right)} - 5\right) \cos{\left(t \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                 
 |                              3   
 |    3                      cos (t)
 | sin (t) dt = C - cos(t) + -------
 |                              3   
/

\int \sin^{3}{\left(t \right)}\, dt = C + \frac{\cos^{3}{\left(t \right)}}{3} - \cos{\left(t \right)}

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

2/3

\frac{2}{3}

=

2/3

\frac{2}{3}

2/3

Respuesta numérica [src]

0.666666666666667

0.666666666666667

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^3t dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3