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Resolución de integrales/ ctg^5(xdx)

Integral de ctg^5(xdx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
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 |     5      
 |  cot (x) dx
 |            
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0
∫01cot⁡5(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cot^{5}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cot(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cot⁡5(x)=(csc⁡2(x)−1)2cot⁡(x)\cot^{5}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=csc⁡2(x)u = \csc^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=−2cot⁡(x)csc⁡2(x)dxdu = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

      ∫(−u2−2u+12u) du\int \left(- \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2−2u+1u du=−∫u2−2u+1u du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −u24+u−log⁡(u)2- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)2cot⁡(x)=cot⁡(x)csc⁡4(x)−2cot⁡(x)csc⁡2(x)+cot⁡(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡4(x)4- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cot⁡(x)csc⁡2(x)) dx=−2∫cot⁡(x)csc⁡2(x) dx\int \left(- 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡2(x)\csc^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(x))−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (csc⁡2(x)−1)2cot⁡(x)=cot⁡(x)csc⁡4(x)−2cot⁡(x)csc⁡2(x)+cot⁡(x)\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

        Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u3) du\int \left(- u^{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u3 du=−∫u3 du\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u44- \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −csc⁡4(x)4- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cot⁡(x)csc⁡2(x)) dx=−2∫cot⁡(x)csc⁡2(x) dx\int \left(- 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=csc⁡(x)u = \csc{\left(x \right)}.

          Luego que du=−cot⁡(x)csc⁡(x)dxdu = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −csc⁡2(x)2- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: csc⁡2(x)\csc^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sin⁡(x))\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: log⁡(sin⁡(x))−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)+constant- \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                 
 |                               /   2   \      4   
 |    5                2      log\csc (x)/   csc (x)
 | cot (x) dx = C + csc (x) - ------------ - -------
 |                                 2            4   
/
∫cot⁡5(x) dx=C−log⁡(csc⁡2(x))2−csc⁡4(x)4+csc⁡2(x)\int \cot^{5}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4} + \csc^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-100000000000000000000100000000000000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
7.26749061658134e+75
7.26749061658134e+75

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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