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Resolución de integrales/ (x-4)/ (4x-2)/ (4x-2)sin(x-4)

Integral de (4x-2)sin(x-4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |  (4*x - 2)*sin(x - 4) dx
 |                         
/                          
0
∫01(4x−2)sin⁡(x−4) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 2\right) \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx 
Integral((4*x - 2)*sin(x - 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)sin⁡(x−4)=4xsin⁡(x−4)−2sin⁡(x−4)\left(4 x - 2\right) \sin{\left(x - 4 \right)} = 4 x \sin{\left(x - 4 \right)} - 2 \sin{\left(x - 4 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(x−4) dx=4∫xsin⁡(x−4) dx\int 4 x \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x−4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 4 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x−4)- \cos{\left(x - 4 \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x−4)) dx=−∫cos⁡(x−4) dx\int \left(- \cos{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x - 4 \right)}\, dx

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x−4)\sin{\left(x - 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x−4)- \sin{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x−4)) dx=−2∫sin⁡(x−4) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x−4)- \cos{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x−4)2 \cos{\left(x - 4 \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)+2cos⁡(x−4)- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)} + 2 \cos{\left(x - 4 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x−2u{\left(x \right)} = 4 x - 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x−4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 4 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=x−4u = x - 4.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(x−4)- \cos{\left(x - 4 \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4cos⁡(x−4)) dx=−4∫cos⁡(x−4) dx\int \left(- 4 \cos{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - 4 \int \cos{\left(x - 4 \right)}\, dx

      1. que u=x−4u = x - 4.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(x−4)\sin{\left(x - 4 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡(x−4)- 4 \sin{\left(x - 4 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x−2)sin⁡(x−4)=4xsin⁡(x−4)−2sin⁡(x−4)\left(4 x - 2\right) \sin{\left(x - 4 \right)} = 4 x \sin{\left(x - 4 \right)} - 2 \sin{\left(x - 4 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xsin⁡(x−4) dx=4∫xsin⁡(x−4) dx\int 4 x \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx = 4 \int x \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x−4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 4 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(x−4)- \cos{\left(x - 4 \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x−4)) dx=−∫cos⁡(x−4) dx\int \left(- \cos{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x - 4 \right)}\, dx

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(x−4)\sin{\left(x - 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x−4)- \sin{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡(x−4)) dx=−2∫sin⁡(x−4) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x - 4 \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx

        1. que u=x−4u = x - 4.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(x−4)- \cos{\left(x - 4 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x−4)2 \cos{\left(x - 4 \right)}

      El resultado es: −4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)+2cos⁡(x−4)- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)} + 2 \cos{\left(x - 4 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)+2cos⁡(x−4)+constant- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)} + 2 \cos{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)+2cos⁡(x−4)+constant- 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)} + 2 \cos{\left(x - 4 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                             
 |                                                                              
 | (4*x - 2)*sin(x - 4) dx = C + 2*cos(-4 + x) + 4*sin(-4 + x) - 4*x*cos(-4 + x)
 |                                                                              
/
∫(4x−2)sin⁡(x−4) dx=C−4xcos⁡(x−4)+4sin⁡(x−4)+2cos⁡(x−4)\int \left(4 x - 2\right) \sin{\left(x - 4 \right)}\, dx = C - 4 x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)} + 2 \cos{\left(x - 4 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-4*sin(3) - 2*cos(3) - 2*cos(4) + 4*sin(4)
4sin⁡(4)−4sin⁡(3)−2cos⁡(4)−2cos⁡(3)4 \sin{\left(4 \right)} - 4 \sin{\left(3 \right)} - 2 \cos{\left(4 \right)} - 2 \cos{\left(3 \right)} 
=
= 
-4*sin(3) - 2*cos(3) - 2*cos(4) + 4*sin(4)
4sin⁡(4)−4sin⁡(3)−2cos⁡(4)−2cos⁡(3)4 \sin{\left(4 \right)} - 4 \sin{\left(3 \right)} - 2 \cos{\left(4 \right)} - 2 \cos{\left(3 \right)} 
-4*sin(3) - 2*cos(3) - 2*cos(4) + 4*sin(4)
Respuesta numérica [src] 
-0.304417778543067
-0.304417778543067

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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