Integral de cos(lnx)/x^2 dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

               1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

               2. Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

                  que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du$.

               3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

                  $2 \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} + e^{u} \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto,

                  $\int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{- u} \cos{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Entonces $\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du = - \int e^{- u} \sin{\left(u \right)}\, du - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$.

         2. Para el integrando $e^{- u} \sin{\left(u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}$.

            Entonces $\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du = \int \left(- e^{- u} \cos{\left(u \right)}\right)\, du + e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $2 \int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du = e^{- u} \sin{\left(u \right)} - e^{- u} \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{- u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{- u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{- u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x} - \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2 x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 x}+ \mathrm{constant}$