Integral de ln(1+(x^2)/2)*x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{x dx}{\frac{x^{2}}{2} + 1}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{2}}{2} + \left(\frac{x^{2}}{2} + 1\right) \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)} - 1$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{x}{\frac{x^{2}}{2} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3}}{2 \left(\frac{x^{2}}{2} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{\frac{x^{2}}{2} + 1}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{u + 2} = 1 - \frac{2}{u + 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u + 2}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u + 2}\, du$

               1. que $u = u + 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

            El resultado es: $u - 2 \log{\left(u + 2 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x^{2} - 2 \log{\left(x^{2} + 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \log{\left(x^{2} + 2 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 2\right) \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)}}{2} - 1$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 2\right) \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)}}{2} - 1+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} + 2\right) \log{\left(\frac{x^{2}}{2} + 1 \right)}}{2} - 1+ \mathrm{constant}$