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Resolución de integrales/ cos2x/ sqrt(2)/ (sqrt(2)*x-3)*cos2x

Integral de (sqrt(2)*x-3)*cos2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
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 |  /  ___      \            
 |  \\/ 2 *x - 3/*cos(2*x) dx
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0
∫01(2x−3)cos⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\sqrt{2} x - 3\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((sqrt(2)*x - 3)*cos(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = \sqrt{2} x.

      Luego que du=2dxdu = \sqrt{2} dx y ponemos dudu:

      ∫(2ucos⁡(2u)2−32cos⁡(2u)2) du\int \left(\frac{\sqrt{2} u \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ucos⁡(2u)2 du=2∫ucos⁡(2u) du2\int \frac{\sqrt{2} u \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}\, du = \frac{\sqrt{2} \int u \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}\, du}{2}

          1. que u=2uu = \sqrt{2} u.

            Luego que du=2dudu = \sqrt{2} du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫ucos⁡(u)2 du\int \frac{u \cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫ucos⁡(u) du=∫ucos⁡(u) du2\int u \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int u \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=cos⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: usin⁡(u)2+cos⁡(u)2\frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2usin⁡(2u)2+cos⁡(2u)2\frac{\sqrt{2} u \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2(2usin⁡(2u)2+cos⁡(2u)2)2\frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} u \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}\right)}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−32cos⁡(2u)2) du=−32∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{3 \sqrt{2} \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \sqrt{2} \int \cos{\left(\sqrt{2} u \right)}\, du}{2}

          1. que u=2uu = \sqrt{2} u.

            Luego que du=2dudu = \sqrt{2} du y ponemos 2du2\frac{\sqrt{2} du}{2}:

            ∫2cos⁡(u)2 du\int \frac{\sqrt{2} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2\frac{\sqrt{2} \sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            2sin⁡(2u)2\frac{\sqrt{2} \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2u)2- \frac{3 \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}

        El resultado es: 2(2usin⁡(2u)2+cos⁡(2u)2)2−3sin⁡(2u)2\frac{\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} u \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}\right)}{2} - \frac{3 \sin{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2(xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)2)2−3sin⁡(2x)2\frac{\sqrt{2} \left(x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)cos⁡(2x)=2xcos⁡(2x)−3cos⁡(2x)\left(\sqrt{2} x - 3\right) \cos{\left(2 x \right)} = \sqrt{2} x \cos{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(2x) dx=2∫xcos⁡(2x) dx\int \sqrt{2} x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \sqrt{2} \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xsin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4)\sqrt{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(2x)) dx=−3∫cos⁡(2x) dx\int \left(- 3 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2x)2- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: 2(xsin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4)−3sin⁡(2x)2\sqrt{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x−3u{\left(x \right)} = \sqrt{2} x - 3 y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = \sqrt{2}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(2x)2 dx=2∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(2x)4- \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x−3)cos⁡(2x)=2xcos⁡(2x)−3cos⁡(2x)\left(\sqrt{2} x - 3\right) \cos{\left(2 x \right)} = \sqrt{2} x \cos{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(2x) dx=2∫xcos⁡(2x) dx\int \sqrt{2} x \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \sqrt{2} \int x \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xsin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4)\sqrt{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3cos⁡(2x)) dx=−3∫cos⁡(2x) dx\int \left(- 3 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −3sin⁡(2x)2- \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: 2(xsin⁡(2x)2+cos⁡(2x)4)−3sin⁡(2x)2\sqrt{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    2(2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x))4−3sin⁡(2x)2\frac{\sqrt{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x))4−3sin⁡(2x)2+constant\frac{\sqrt{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x))4−3sin⁡(2x)2+constant\frac{\sqrt{2} \left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)}{4} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               ___ /cos(2*x)             \
 |                                              \/ 2 *|-------- + x*sin(2*x)|
 | /  ___      \                   3*sin(2*x)         \   2                 /
 | \\/ 2 *x - 3/*cos(2*x) dx = C - ---------- + -----------------------------
 |                                     2                      2              
/
∫(2x−3)cos⁡(2x) dx=C+2(xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)2)2−3sin⁡(2x)2\int \left(\sqrt{2} x - 3\right) \cos{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \left(x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               ___     ___            ___       
  3*sin(2)   \/ 2    \/ 2 *sin(2)   \/ 2 *cos(2)
- -------- - ----- + ------------ + ------------
     2         4          2              4
−3sin⁡(2)2−24+2cos⁡(2)4+2sin⁡(2)2- \frac{3 \sin{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
               ___     ___            ___       
  3*sin(2)   \/ 2    \/ 2 *sin(2)   \/ 2 *cos(2)
- -------- - ----- + ------------ + ------------
     2         4          2              4
−3sin⁡(2)2−24+2cos⁡(2)4+2sin⁡(2)2- \frac{3 \sin{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 \right)}}{2} 
-3*sin(2)/2 - sqrt(2)/4 + sqrt(2)*sin(2)/2 + sqrt(2)*cos(2)/4
Respuesta numérica [src] 
-1.22165927925379
-1.22165927925379

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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