Integral de ((6cos(t)+2isin(t))*(-3sin(t)+2icos(t))) dt

Solución

Ha introducido [src]

 2*pi                                                   
   /                                                    
  |                                                     
  |  (6*cos(t) + 2*I*sin(t))*(-3*sin(t) + 2*I*cos(t)) dt
  |                                                     
 /                                                      
 0

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(2 i \sin{\left(t \right)} + 6 \cos{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)} + 2 i \cos{\left(t \right)}\right)\, dt$$

Integral((6*cos(t) + (2*i)*sin(t))*(-3*sin(t) + (2*i)*cos(t)), (t, 0, 2*pi))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(2 i \sin{\left(t \right)} + 6 \cos{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)} + 2 i \cos{\left(t \right)}\right) = - 6 i \sin^{2}{\left(t \right)} - 22 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 12 i \cos^{2}{\left(t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 6 i \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 6 i \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 6 i \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 22 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 22 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $11 \cos^{2}{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 12 i \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 12 i \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $12 i \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$
  El resultado es: $- 6 i \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 12 i \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 11 \cos^{2}{\left(t \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(2 i \sin{\left(t \right)} + 6 \cos{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)} + 2 i \cos{\left(t \right)}\right) = - 6 i \sin^{2}{\left(t \right)} - 22 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} + 12 i \cos^{2}{\left(t \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 6 i \sin^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - 6 i \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 6 i \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 22 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 22 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$
    1. que $u = \cos{\left(t \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(t \right)} dt$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $11 \cos^{2}{\left(t \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 12 i \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = 12 i \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$
      
      que $u = 2 t$ .
      
      Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $12 i \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$
  El resultado es: $- 6 i \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 12 i \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 11 \cos^{2}{\left(t \right)}$
Ahora simplificar:

$3 i t + \frac{9 i \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11 \cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$3 i t + \frac{9 i \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11 \cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 i t + \frac{9 i \sin{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11 \cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{11}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                               
 |                                                                 2          /t   sin(2*t)\        /t   sin(2*t)\
 | (6*cos(t) + 2*I*sin(t))*(-3*sin(t) + 2*I*cos(t)) dt = C + 11*cos (t) - 6*I*|- - --------| + 12*I*|- + --------|
 |                                                                            \2      4    /        \2      4    /
/

$$\int \left(2 i \sin{\left(t \right)} + 6 \cos{\left(t \right)}\right) \left(- 3 \sin{\left(t \right)} + 2 i \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = C - 6 i \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 12 i \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + 11 \cos^{2}{\left(t \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

6*pi*I

$$6 i \pi$$

6*pi*I

$$6 i \pi$$

6*pi*i

Respuesta numérica [src]

(4.85693756781596e-21 + 18.8495559215388j)

(4.85693756781596e-21 + 18.8495559215388j)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de ((6cos(t)+2isin(t))*(-3sin(t)+2icos(t))) dt

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2