Integral de sin(log(x))/x2+5n dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 5 n\, dx = 5 n x$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x_{2}}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\, dx}{x_{2}}$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u \right)}\, du$.

            2. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $2 \int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u \right)} - e^{u} \cos{\left(u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}}{x_{2}}$

   El resultado es: $5 n x + \frac{\frac{x \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{x \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{2}}{x_{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(10 n x_{2} - \sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{2 x_{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(10 n x_{2} - \sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{2 x_{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(10 n x_{2} - \sqrt{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{2 x_{2}}+ \mathrm{constant}$