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Resolución de integrales/ 2*x*exp(4*x-2)

Integral de 2*x*exp(4*x-2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 1/2               
  /                
 |                 
 |       4*x - 2   
 |  2*x*e        dx
 |                 
/                  
0
∫0122xe4x−2 dx\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} 2 x e^{4 x - 2}\, dx 
Integral((2*x)*exp(4*x - 2), (x, 0, 1/2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2xe4x−2=2xe4xe22 x e^{4 x - 2} = \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2xe4xe2 dx=2∫xe4x dxe2\int \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x e^{4 x}\, dx}{e^{2}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e4x4 dx=∫e4x dx4\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: e4x16\frac{e^{4 x}}{16}

      Por lo tanto, el resultado es: 2(xe4x4−e4x16)e2\frac{2 \left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}\right)}{e^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2xe4x−2=2xe4xe22 x e^{4 x - 2} = \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2xe4xe2 dx=2∫xe4x dxe2\int \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x e^{4 x}\, dx}{e^{2}}

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e4x4 dx=∫e4x dx4\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: e4x16\frac{e^{4 x}}{16}

      Por lo tanto, el resultado es: 2(xe4x4−e4x16)e2\frac{2 \left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}\right)}{e^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    (4x−1)e4x−28\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (4x−1)e4x−28+constant\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(4x−1)e4x−28+constant\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                         /   4*x      4*x\    
 |      4*x - 2            |  e      x*e   |  -2
 | 2*x*e        dx = C + 2*|- ---- + ------|*e  
 |                         \   16      4   /    
/
∫2xe4x−2 dx=C+2(xe4x4−e4x16)e2\int 2 x e^{4 x - 2}\, dx = C + \frac{2 \left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}\right)}{e^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.000.500.050.100.150.200.250.300.350.400.452-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     -2
1   e  
- + ---
8    8
18e2+18\frac{1}{8 e^{2}} + \frac{1}{8} 
=
= 
     -2
1   e  
- + ---
8    8
18e2+18\frac{1}{8 e^{2}} + \frac{1}{8} 
1/8 + exp(-2)/8
Respuesta numérica [src] 
0.141916910404577
0.141916910404577

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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