Integral de 2*x*exp(4*x-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x e^{4 x - 2} = \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x e^{4 x}\, dx}{e^{2}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 x}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}\right)}{e^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x e^{4 x - 2} = \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x e^{4 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x e^{4 x}\, dx}{e^{2}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}$

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 x}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}\right)}{e^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x - 1\right) e^{4 x - 2}}{8}+ \mathrm{constant}$