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Resolución de integrales/ x(lnx)/ x(lnx)^(1/2)

Integral de x(lnx)^(1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |      ________   
 |  x*\/ log(x)  dx
 |                 
/                  
0
∫01xlog⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} x \sqrt{\log{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(x*sqrt(log(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫ue2u du\int \sqrt{u} e^{2 u}\, du

      UpperGammaRule(a=2, e=1/2, context=sqrt(_u)*exp(2*_u), symbol=_u)

    Si ahora sustituir uu más en:

    2(2x2−log⁡(x)+πerfc⁡(2−log⁡(x))2)log⁡(x)4−log⁡(x)\frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x^{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  2. Ahora simplificar:

    x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)+constant\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2log⁡(x)2+2πlog⁡(x)erfc⁡(2−log⁡(x))8−log⁡(x)+constant\frac{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{\log{\left(x \right)}} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{8 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                          /  ____     /  ___   _________\                       \
  /                        ___   ________ |\/ pi *erfc\\/ 2 *\/ -log(x) /     ___  2   _________|
 |                       \/ 2 *\/ log(x) *|------------------------------ + \/ 2 *x *\/ -log(x) |
 |     ________                           \              2                                      /
 | x*\/ log(x)  dx = C + ------------------------------------------------------------------------
 |                                                        _________                              
/                                                     4*\/ -log(x)
∫xlog⁡(x) dx=C+2(2x2−log⁡(x)+πerfc⁡(2−log⁡(x))2)log⁡(x)4−log⁡(x)\int x \sqrt{\log{\left(x \right)}}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \left(\sqrt{2} x^{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} + \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- \log{\left(x \right)}} \right)}}{2}\right) \sqrt{\log{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{- \log{\left(x \right)}}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    ___   ____
I*\/ 2 *\/ pi 
--------------
      8
2iπ8\frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{8} 
=
= 
    ___   ____
I*\/ 2 *\/ pi 
--------------
      8
2iπ8\frac{\sqrt{2} i \sqrt{\pi}}{8} 
i*sqrt(2)*sqrt(pi)/8
Respuesta numérica [src] 
(0.0 + 0.313328534328875j)
(0.0 + 0.313328534328875j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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