Integral de x^(1/5)*(x^2-3*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[5]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(5 u^{15} - 15 u^{10}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{15}\, du = 5 \int u^{15}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{16}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 15 u^{10}\right)\, du = - 15 \int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 u^{11}}{11}$

         El resultado es: $\frac{5 u^{16}}{16} - \frac{15 u^{11}}{11}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 x^{\frac{16}{5}}}{16} - \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[5]{x} \left(x^{2} - 3 x\right) = x^{\frac{11}{5}} - 3 x^{\frac{6}{5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{11}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{16}{5}}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x^{\frac{6}{5}}\right)\, dx = - 3 \int x^{\frac{6}{5}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{6}{5}}\, dx = \frac{5 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

      El resultado es: $\frac{5 x^{\frac{16}{5}}}{16} - \frac{15 x^{\frac{11}{5}}}{11}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 x^{\frac{11}{5}} \left(11 x - 48\right)}{176}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x^{\frac{11}{5}} \left(11 x - 48\right)}{176}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x^{\frac{11}{5}} \left(11 x - 48\right)}{176}+ \mathrm{constant}$