Integral de (lnx)/(x-xlnx) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                
  /                
 |                 
 |     log(x)      
 |  ------------ dx
 |  x - x*log(x)   
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x}\, dx$$

Integral(log(x)/(x - x*log(x)), (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $- du$ :
  
  $\int \left(- \frac{u}{u - 1}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u}{u - 1}\, du = - \int \frac{u}{u - 1}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u}{u - 1} = 1 + \frac{1}{u - 1}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      que $u = u - 1$ .
      
      Luego que $du = du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(u - 1 \right)}$
      
      El resultado es: $u + \log{\left(u - 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- u - \log{\left(u - 1 \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \log{\left(x \right)} - \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} - x}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} - x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} - x}\, dx$
  1. que $u = x \log{\left(x \right)} - x$ .
    
    Luego que $du = \log{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\log{\left(x \log{\left(x \right)} - x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \log{\left(x \right)} - x \right)}$
Método #3
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{- x \log{\left(x \right)} + x}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}\, dx$
    1. que $u = \log{\left(x \right)} - 1$ .
      
      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}}{x}\, dx$
  1. que $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)}}{u}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1\right)}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u e^{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u e^{u}\, du = - \int u e^{u}\, du$
      
      Usamos la integración por partes:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Ahora resolvemos podintegral.
      
      La integral de la función exponencial es la mesma.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- u e^{u} + e^{u}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 1$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(x \right)} + 1$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \left(\log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(x \right)} - 1$
Añadimos la constante de integración:

$- \log{\left(x \right)} - \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(x \right)} - \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                               
 |                                                
 |    log(x)                                      
 | ------------ dx = C - log(x) - log(-1 + log(x))
 | x - x*log(x)                                   
 |                                                
/

$$\int \frac{\log{\left(x \right)}}{- x \log{\left(x \right)} + x}\, dx = C - \log{\left(x \right)} - \log{\left(\log{\left(x \right)} - 1 \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

-oo - pi*I

$$-\infty - i \pi$$

-oo - pi*I

$$-\infty - i \pi$$

-oo - pi*i

Respuesta numérica [src]

-40.2817659797613

-40.2817659797613

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (lnx)/(x-xlnx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3