Integral de (1/x^2)*arctg(1/x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = - \int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}$

            1. que $u = u^{2} + 1$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u^{2} + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u \operatorname{atan}{\left(u \right)} + \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = 1 + \frac{1}{x^{2}}$.

      Luego que $du = - \frac{2 dx}{x^{3}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(1 + \frac{1}{x^{2}} \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$