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Resolución de integrales/ 1-x^2/ log(1-x^2)

Integral de log(1-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     /     2\   
 |  log\1 - x / dx
 |                
/                 
0
∫01log⁡(1−x2) dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(1 - x^{2} \right)}\, dx 
Integral(log(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(1−x2)u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x^{2} \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=−2x1−x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{1 - x^{2}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−2x21−x2) dx=−2∫x21−x2 dx\int \left(- \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}\, dx

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x21−x2=−1+12(x+1)−12(x−1)\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = -1 + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(x+1) dx=∫1x+1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+1)2\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12(x−1)) dx=−∫1x−1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)2- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

        El resultado es: −x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x21−x2=−x2x2−1\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2x2−1) dx=−∫x2x2−1 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x2−1=1−12(x+1)+12(x−1)\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(x+1)) dx=−∫1x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(x−1) dx=∫1x−1 dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: x+log⁡(x−1)2−log⁡(x+1)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x−log⁡(x−1)2+log⁡(x+1)2- x - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: 2x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(1−x2)−2x−log⁡(x−1)+log⁡(x+1)+constantx \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(1−x2)−2x−log⁡(x−1)+log⁡(x+1)+constantx \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                   
 |                                                                    
 |    /     2\                                   /     2\             
 | log\1 - x / dx = C - log(-1 + x) - 2*x + x*log\1 - x / + log(1 + x)
 |                                                                    
/
∫log⁡(1−x2) dx=C+xlog⁡(1−x2)−2x−log⁡(x−1)+log⁡(x+1)\int \log{\left(1 - x^{2} \right)}\, dx = C + x \log{\left(1 - x^{2} \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2 + 2*log(2)
−2+2log⁡(2)-2 + 2 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-2 + 2*log(2)
−2+2log⁡(2)-2 + 2 \log{\left(2 \right)} 
-2 + 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.613705638880109
-0.613705638880109

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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