Integral de e^(5*x+4)-e^(5*x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x + 4$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x + 4}}{5}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{5 x + 4} = e^{4} e^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{4} e^{5 x}\, dx = e^{4} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4} e^{5 x}}{5}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $e^{5 x + 4} = e^{4} e^{5 x}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{4} e^{5 x}\, dx = e^{4} \int e^{5 x}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4} e^{5 x}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- e^{5 x}\right)\, dx = - \int e^{5 x}\, dx$

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{5 x}}{5}$

   El resultado es: $- \frac{e^{5 x}}{5} + \frac{e^{5 x + 4}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(1 - e^{4}\right) e^{5 x}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(1 - e^{4}\right) e^{5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(1 - e^{4}\right) e^{5 x}}{5}+ \mathrm{constant}$