Integral de (1/2)sin(x/2)+(1/3)cos(x/3) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

         $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\, dx}{3}$

      1. que $u = \frac{x}{3}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3}$ y ponemos $3 du$:

         $\int 3 \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 3 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   El resultado es: $\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$