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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ (3-sin(2*x))^2

Integral de (3-sin(2*x))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |                2   
 |  (3 - sin(2*x))  dx
 |                    
/                     
2
∫21(3−sin⁡(2x))2 dx\int\limits_{2}^{1} \left(3 - \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((3 - sin(2*x))^2, (x, 2, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−sin⁡(2x))2=sin⁡2(2x)−6sin⁡(2x)+9\left(3 - \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 6 \sin{\left(2 x \right)} + 9

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(2x)) dx=−6∫sin⁡(2x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(2x)3 \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫9 dx=9x\int 9\, dx = 9 x

      El resultado es: 19x2−sin⁡(4x)8+3cos⁡(2x)\frac{19 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + 3 \cos{\left(2 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3−sin⁡(2x))2=sin⁡2(2x)−6sin⁡(2x)+9\left(3 - \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 6 \sin{\left(2 x \right)} + 9

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−6sin⁡(2x)) dx=−6∫sin⁡(2x) dx\int \left(- 6 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(2x)3 \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫9 dx=9x\int 9\, dx = 9 x

      El resultado es: 19x2−sin⁡(4x)8+3cos⁡(2x)\frac{19 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + 3 \cos{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    19x2−sin⁡(4x)8+3cos⁡(2x)+constant\frac{19 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + 3 \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

19x2−sin⁡(4x)8+3cos⁡(2x)+constant\frac{19 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + 3 \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |               2                       sin(4*x)   19*x
 | (3 - sin(2*x))  dx = C + 3*cos(2*x) - -------- + ----
 |                                          8        2  
/
∫(3−sin⁡(2x))2 dx=C+19x2−sin⁡(4x)8+3cos⁡(2x)\int \left(3 - \sin{\left(2 x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{19 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + 3 \cos{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        2         2                                                                             
     cos (2)   sin (2)      2         2                            cos(2)*sin(2)   cos(4)*sin(4)
-9 + ------- + ------- - cos (4) - sin (4) - 3*cos(4) + 3*cos(2) - ------------- + -------------
        2         2                                                      4               4
−9+3cos⁡(2)−sin⁡2(4)−cos⁡2(4)+cos⁡2(2)2−sin⁡(2)cos⁡(2)4+sin⁡(4)cos⁡(4)4+sin⁡2(2)2−3cos⁡(4)-9 + 3 \cos{\left(2 \right)} - \sin^{2}{\left(4 \right)} - \cos^{2}{\left(4 \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{2} - 3 \cos{\left(4 \right)} 
=
= 
        2         2                                                                             
     cos (2)   sin (2)      2         2                            cos(2)*sin(2)   cos(4)*sin(4)
-9 + ------- + ------- - cos (4) - sin (4) - 3*cos(4) + 3*cos(2) - ------------- + -------------
        2         2                                                      4               4
−9+3cos⁡(2)−sin⁡2(4)−cos⁡2(4)+cos⁡2(2)2−sin⁡(2)cos⁡(2)4+sin⁡(4)cos⁡(4)4+sin⁡2(2)2−3cos⁡(4)-9 + 3 \cos{\left(2 \right)} - \sin^{2}{\left(4 \right)} - \cos^{2}{\left(4 \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(2 \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \right)} \cos{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\sin^{2}{\left(2 \right)}}{2} - 3 \cos{\left(4 \right)} 
-9 + cos(2)^2/2 + sin(2)^2/2 - cos(4)^2 - sin(4)^2 - 3*cos(4) + 3*cos(2) - cos(2)*sin(2)/4 + cos(4)*sin(4)/4
Respuesta numérica [src] 
-8.56923955430918
-8.56923955430918

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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